Question

Ayuda! Sea (an)n≥1 una progresion geometrica tal que a5 = 81 y a2 = −3. Hallar an.

Answer 1

          PROGRESIONES  GEOMÉTRICAS

                            Interpolación de términos

Te pide hallar  aₙ  que es el término general de esa progresión, es decir, la fórmula que permite saber el valor de cualquier término teniendo en cuenta la posición "n" que ocupe en ella, es decir, el número de orden.

Para ello es necesario conocer la razón "r" de la progresión que es el número invariable por el que se multiplica cada término para obtener el siguiente.

Y para hallar la razón tenemos como datos el valor de los términos:

• a₅ = 81
• a₂ = -3

Y con esos datos podemos usar una fórmula que nos permite interpolar (intercalar) los términos faltantes en una progresión, conociendo los extremos que en este caso son los anotados ahí.

Entre el 2º término (a₂) y el 5º término (a₅) hemos de intercalar los términos:

a₃  y  a₄ , es decir, 2 términos que represento con la letra "m"

Llamando:

• a₂ = a = -3
• a₅ = b = 81
• m = 2

Acudo a la fórmula mencionada de interpolación de términos que nos calculará la razón "r" y que dice:

                             

                                  $r=\sqrt[m+1]{\dfrac{b}{a} }$

Sustituyo los datos:

                                  $r=\sqrt[2+1]{\dfrac{81}{-3} }=\sqrt[3]{-27} =-3$

Conocida la razón ya solo hemos de calcular el primer término de esta progresión para montar la fórmula del término general que nos pide.

Para ello, tomamos el segundo término, dato que ya nos da el ejercicio, y lo dividimos entre la razón para obtener el primer término  a₁  que es el término anterior y que es la operación inversa a cuando queremos hallar el término siguiente en que multiplicaríamos en lugar de dividir.

$a_1=\dfrac{a_2}{r}=\dfrac{-3}{-3} =1$

Acudo finalmente a la expresión genérica para las progresiones geométricas que dice:

                                        $a_n=a_1*r^{n-1}$

Sustituyo los datos:

$a_n=1*-3^{n-1}\\ \\ \boxed{\bold{a_n=-3^{n-1} }}$          

Ahí queda la solución.                            

         

De ese término general puede montarse toda esa progresión dando valores a "n" a partir de 1