Question

Movimiento rectilíneo. La velocidad de una partícula que se mueve en línea recta se representa con: V=t(t^2+1)^4 t

a. Calcule una expresión para la posición s después de un tiempo t.

b. Dado que S = 1 cuando t = 0 , determina la constante C de integración.

Answer 1

Hola, aquí va la respuesta

   Integración de las funciones de movimiento

Veamos un poco de teoría

Supongamos que nos dan una función aceleración

$a(t)= a$

Puede también ser un polinomio

Para saber la función velocidad, debemos integrar

$\int\ [a(t) ]dt= \int(a)dt$

$V(t)= at+ A$

Donde:  

A es una constante

Si obtenemos algún dato extra, como por ej: la velocidad en un tiempo determinado, podremos reemplazar y despejar esa constante

Si queremos ahora la función posición, debemos integrar la función velocidad

$\int\[V(t) ]dt= \int\ (at+A)dt$

$X(t)= \frac{at^{2} }{2} +At + B$

Donde:

B: es una constante

De modo similar, si tenemos un dato de la posición, podremos calcular el valor de "B"

Adjunto algunas propiedades de las integrales indefinidas (hecho por el canal "el traductor de ingeniería")

Ahora vamos al ejercicio

$V(t)= t(t^{2} +1)^{4}$

Vamos a integrar

$\int [V(t) ]dt= \int[t(t^{2}+1)^{4}]dt$  

Sea   u= t²+1

Aplicaremos integración por sustitución

• $\int\ f[g(x) ] *g'(x) dx= \int f(u)du$

$(t^{2}+1)'= 2t$  

⇒ $du= 2t*dt$

  $\frac{1}{2t} du=dt$  

Reemplazando:

$\int t(u^{4})\frac{1}{2t} du$  

Podemos simplificar

$\int(\frac{u^{4} }{2} )du$

Sacamos la constante 1/2 afuera y aplicamos una de la propiedades

$\frac{1}{2} *\frac{u^{4+1} }{4+1}$

$\frac{1}{2} *\frac{(t^{2}+1)^{5} }{5}$

$\frac{1}{10} (t^{2} +1)^{5} + C$

$S(t)= \frac{1}{10} (t^{2} +1)^{5} +C$

Donde:

C: es la constante

El dato que tenemos en el inciso "b" es que cuando t= 0, la posición en S(t=0)= 1, por lo tanto:

$S(0)=\frac{1}{10} (0+1)^{5} +C$

$1= \frac{1}{10} +C$

$\frac{9}{10} =C$

Respuestas:

A)  La función posición es:

$S(t)= \frac{1}{10} (t^{2} +1)^{5} +\frac{9}{10}$

B) La constante "C" de integración es:

$C= \frac{9}{10}$

Te dejo un ejercicio similar

• https://brainly.lat/tarea/34307156

Saludoss

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