Respuestas
se trata de una integral por el método de fracciones parciales, particularmente: Factores Cuadrático Repetidos.
la integral propuesta puede expresarse de forma indeterminada como
=int[(Ax+B)/(x^2 + 2x +3) + (Cx + D)/(x^2 + 2x +3)^2]dx
=Int[ [(Ax+B)(x^2+2x+3) + (Cx+D)]/(x^2+2x+3)^2 ]dx
por operación de fracciones con distinto denominador.
Después de lo anterior, Eliminamos el denominador en ambos miembros, resolvemos las multiplicaciones indicada y agrupados términos semejantes, lo cual nos resultará
x^2 + 1 = Ax^3 + (2A+B)x^2 + (3A+2B+C)x + 3B + D
luego comparamos término a término en ambos miembros de la igualdad, formándose las siguientes ecuaciones
Términos de X^3 --> 0 = A
Términos de X^2 --> 1 = 2A + B
Términos de X -----> 0 = 3A + 2B + C
Term. Independiente 1 = 3B + D
resolviendo dicho sistema los valores de la incógnitas serán A=0, B= 1, C= -2 y D= -2
sustituimos esos valores en la integral de coeficientes indeterminados
int (x^2+1) / (x^2+2x+3)^2 = int dx/(x^2+2x+3) + int(-2x-2)dx / (x^2+2x+3)^2
la primera integral haz completacion de cuadrados, quedará
int dx / [ (x + 1)^2 + 2] Sale por tablas, puede que tengas que hacer u=x+1
la segunda integral, extrae factor común -1, quedando
- int[ (2x + 2) / (x^2 + 2x + 3)^2
haz cambio de variable
y=x^2+2x+3
dy=(2x+2)dx lo tienes en la integral
int dy/y^2 =int y^ -2 dy de tabla
une las dos respuesta a la integrales, devuelve los cambios hechos.
Listo, saludos