Question

Si abcd – cdab = 1584, además ab + cd = 90, calcule a + b + c + d.

Answer 1

Respuesta:

a+b+c+d = 5+3+3+7 = 18

Explicación paso a paso:

Simplificando (abcd) - (cdab) = 1584

$(10^3a+10^2b+10c+d) - (10^3c+10^2d+10a+b)=1584\\a(10^3-10)+b(10^2-1)+c(10-10^3)+d(1-10^2)=1584\\a(10^3-10)+b(10^2-1)+(-1)(-1)c(10-10^3)+(-1)(-1)d(1-10^2)=1584\\a(10^3-10)+b(10^2-1)+(-1)c(10^3-10)+(-1)d(10^2-1)=1584\\a(10^3-10)+b(10^2-1)-c(10^3-10)-d(10^2-1)=1584\\(10^3-10)(a-c)+(10^2-1)(b-d)=1584\\10(10^2-1)(a-c)+(10^2-1)(b-d)=1584\\(10^2-1)(10(a-c)+(b-d))=1584\\10a-10c+b-d=\frac{1584}{99} \\(10a+b)-(10c+d)=16 ... (I)$

Pero sabemos que  ab + cd = 90:

$(10a+b)+(10c+d) = 90 ... (II)$

$(10a+b) = 90 - (10c+d) ... (III)$

Reemplazamos (III) en (I):

$90-(10c+d)-(10c+d)=16\\90-10c-d-10c-d=16\\-20c-2d=-74\\20c+2d=74\\10c+d=37 ... (IV)$

Reemplazamos (IV) en (II):

$(10a+b) + 37 = 90\\10a+b=53 ... (V)$

Ahora tanteamos en (IV) y (V):

*Recuerda que las cifras solo pueden tomar valores de 0 a 9 a excepción de que las cifras mayores (en este caso los millares "a" y "c") no pueden ser cero.

$10a+b = 53 ...(V)\\10(5)+3=53\\a=5, b=3$

$10c+d=37 ...(IV)\\10(3)+7 = 37\\c=3,d=7$

Comprobamos:

(abcd) - (cdab) = 1584

5337 - 3753 = 1584

1584 = 1584

Entonces a+b+c+d = 5+3+3+7 = 18