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Respuesta:
. Si a, b y c son números cualesquiera, entonces a + (b + c) = (a + b) + c
El enunciado de esta propiedad hace evidente la no necesidad de definir por separado la suma de tres elementos. a + b + c representa el número a + (b + c) = (a + b) + c . La suma de cuatro números requiere consideraciones parecidas pero con mas posibilidades. El símbolo a + b + c + d se define como
((a + b) + c) + d
(a + (b + c)) + d
a + ((b + c) + d)
a + (b + (c + d))
(a + b) + (c + d)
Esta definición es única, pues estos números son afortunadamente iguales.
Aplicando la propiedad P1 se puede llegar a resultados similares para n números. En adelante hacemos uso tácito de este hecho y escribiremos las suma a1 + a2 + ... + an olvidándonos de las disposiciones de paréntesis.
El número cero, 0, tiene una propiedad muy importante que merece enunciarse.
P2. Si a es un número cualquiera, entonces. a + 0 = 0 + a = a
El número cero también juega un papel importante en la siguiente propiedad.
P3. Para todo número a existe un número -a tal que. a + (-a) = (-a) + a = 0
Ejemplo 1
DEFINICIÓN 0.1 (Resta o Diferencia)
La resta o diferencia de los números a y b, en este orden, se denota a - b y se define como a - b = a + (-b)
Ejemplo 2
En la propiedad P1 vimos que no importaba el orden en que se operara, veremos en la siguiente propiedad que no importa el orden en que coloquemos los números.
P4. Si a y b son números cualesquiera, entonces a + b = b + a.
Es importante destacar que no todas las operaciones cumplen la propiedad P4, por ejemplo la resta no cumple esta propiedad: en general a - b ¹ b - a. Las propiedades fundamentales de la multiplicación son similares a las de la suma. El producto de dos números cualesquiera a y b se denota por a·b o simplemente por ab y es un único número.
P5. Si a, b y c son números cualesquiera, entonces a·(b·c) = (a·b)·c.
P6. Si a es un número cualquiera, entonces a·1 = 1·a = a.
Puede parecer demasiado obvia esta propiedad, pero es necesario hacerlo, pues es imposible demostrarla de las propiedades enunciadas.
Es importante aclarar que 1¹0.
P7. Para todo número a ¹ 0 existe un número, que denotamos por a-1, a·a-1tal que a-1·a = 1
P8. Si a y b son números cualesquiera, entonces a·b = b·a.
Un detalle que es importante tener en cuenta es que aparezca la condición a ¹ 0. Esta condición es absolutamente necesaria puesto que 0·b = 0 para todo número b, no existe ningún número 0-1 que satisfaga 0·0-1 = 1. Esta condición tiene una consecuencia importante para la división. Así como la resta fue definida a partir de la suma, del mismo modo se obtiene la división a partir de la multiplicación.
DEFINICIÓN 0