Question

La base y la altura de un triángulo isósceles miden 20 cm. Halle las medidas de los otros lados, el
perímetro y el área del triángulo redondeando las respuestas a la centésima más cercana

Answer 1

La longitud de los lados iguales del triángulo isósceles son de aproximadamente 22,36 centímetros

El perímetro es de 64,72 centímetros

El área de de 200 centímetros cuadrados

Se tiene un triángulo isósceles en donde la base y la altura miden 20 centímetros

Se pide hallar las medidas de los lados, el perímetro y el área del triángulo

Solución

Un triángulo isósceles es un tipo de triángulo que tiene dos lados de igual longitud

Al trazar la altura en un triángulo isósceles este queda dividido en dos triángulos rectángulos iguales o congruentes

Luego podemos determinar el valor de los lados iguales por medio del teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras dice que: "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos"

$\boxed {\bold { hipotenusa^{2} = cateto \ 1^{2} \ + \ cateto \ 2^{2} }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} \ + \ b^{2} }}$

Entonces utilizando el teorema de Pitágoras, podemos determinar el valor del lado igual

En donde

Entonces, en un isósceles, los lados iguales (l), b/2 (la mitad de la base) y la altura (h) forman un triángulo rectángulo.

Por lo tanto para ese triángulo rectángulo la mitad de la base y la altura son los catetos, y el lado es la hipotenusa del triángulo

Resultando en:

$\large\boxed {\bold { Lado^{2} = \frac{1}{2} \ b ^{2} \ + \ h ^{2} }}$

$\large\boxed {\bold { Lado^{2} = \frac{b^{2} }{2} \ \ + \ h ^{2} }}$

$\large\boxed {\bold { Lado =\sqrt{ { \frac{b^{2} }{4} \ + \ h ^{2} } } }}$

Hallamos el valor del lado igual

$\boxed {\bold { Lado =\sqrt{ { \frac{(20 \ cm)^{2} }{4} \ + \ (20 \ cm) ^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { Lado =\sqrt{ { \frac{400 \ cm^{2} }{4} \ + \ 400 \ cm ^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { Lado^{2} = 100 \ cm^{2} \ + \ 400 \ cm^{2} }}$

$\boxed {\bold { Lado^{2} = 500 \ cm^{2} }}$

$\boxed {\bold { \sqrt{ Lado^{2} } = \sqrt{500 \ cm^{2} } }}$

$\boxed {\bold { Lado = \sqrt{500 \ cm^{2} } }}$

$\large\boxed {\bold { Lado = 22,36 \ centi metros }}$

Si se te dificulta hacerlo de este modo, simplemente divide el valor de la base a la mitad y emplea Pitágoras como se ha explicado

Siendo las dos maneras válidas

$\large\boxed {\bold { Lado^{2} = \frac{1}{2} \ b ^{2} \ + \ h ^{2} }}$

$\boxed {\bold { Lado^{2} = (10 \ cm)^{2} \ + \ ( 20 \ cm)^{2} }}$

$\boxed {\bold { Lado^{2} = 100 \ cm^{2} \ + \ 400 \ cm^{2} }}$

$\boxed {\bold { Lado^{2} = 500 \ cm^{2} }}$

$\boxed {\bold { \sqrt{ Lado^{2} } = \sqrt{500 \ cm^{2} } }}$

$\boxed {\bold { Lado = \sqrt{500 \ cm^{2} } }}$

$\large\boxed {\bold { Lado = 22,36 \ centi metros }}$

Hallando el perímetro

El perímetro de una figura es su contorno, y es la suma de todos sus lados

Al ser el triángulo isósceles su perímetro se reduce al producto de sus dos lados iguales más el lado desigual

$\large\boxed {\bold { Perimetro = 2 \ L + b \ }}$

$\boxed {\bold { Perimetro = 2 \ . \ 22,36 \ cm + 20 \ cm \ }}$

$\boxed {\bold { Perimetro = 44,72\ cm + 20 \ cm \ }}$

$\large\boxed {\bold { Perimetro = 64,72\ cm }}$

Hallando el área

Empleamos la fórmula general para hallar el área de un triángulo

Siendo la media del producto de la base por la altura

$\large\boxed {\bold { Area = \frac{Base \ . \ altura }{2} }}$

$\boxed {\bold { Area = \frac{20 \ cm \ . \ 20 \ cm}{2} }}$

$\boxed {\bold { Area = \frac{400 \ cm^{2} }{2} }}$

$\large\boxed {\bold { Area = 200\ cm ^{2} }}$