1. El triángulo ABC tiene como vértices los puntos A(0,12); B(8, 0) y C(0, -12) a) (Vale 2 puntos) Determinar los puntos medios M, N y O de los segmentos AB, BC y CA, respectivamente. b) (Vale 2 puntos) Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos M y N, y contesta ¿respecto a cuál de los ejes es paralela dicha recta? c) (Vale 2 puntos) Determina el punto P que divide al segmento AN en razón 2:1. d) (Vale 2 puntos) Determina que los puntos C, P y M están sobre la misma recta. e) (Vale 2 puntos) Determina la ecuación de la recta que pasa por C, P y M.
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Respuesta:
El algunas ocasiones es suficiente saber si una matriz es invertible o no. Sin embargo, esta es una distinción muy poco fina. Hay algunos otros problemas en los que se necesita decir más acerca de la matriz. Podemos pensar que una matriz invertible, como transformación lineal, «guarda toda la información» al pasar de un espacio vectorial a otro. Cuando esto no sucede, nos gustaría entender «qué tanta información se guarda». El rango de matrices es una forma de medir esto. Si la matriz es de m\times n, el rango es un número entero que va de cero a n. Mientras mayor sea, «más información guarda».
Por definición, el rango de una matriz A de m\times n es igual a la dimensión del subespacio vectorial de \mathbb{R}^m generado por los vectores columna de A. Una matriz de n\times n tiene rango n si y sólo si es invertible.
Si pensamos a A como la transformación lineal de \mathbb{R}^n a \mathbb{R}^m tal que X\mapsto AX, entonces el rango es precisamente la dimensión de la imagen de A. Esto permite extender la definición de rango a transformaciones lineales arbitrarias, y se estudia con generalidad en un curso de álgebra lineal.
En las siguientes secciones enunciaremos sin demostración algunas propiedades del rango de matrices y las usaremos para resolver problemas.
Propiedades del rango de matrices
Comenzamos enunciando algunas propiedades del rango de matrices
Teorema. Sean m, n y p enteros. Sea B una matriz de n\times p, y A, A' matrices de m\times n. Sean además P una matriz de n\times p cuya transformación lineal asociada es suprayectiva y Q una matriz de r\times m cuya transformación lineal asociada es inyectiva. Entonces:
\rank(A)\leq \min(m,n)
\rank(AB)\leq \min(\rank(A),\rank(B))
\rank(A+A')\leq \rank(A) + \rank(A')
\rank(QA) = \rank(A)
\rank(AP)=\rank(A)
Consideremos el siguiente problema, tomado del libro Essential Linear Algebra de Titu Andreescu.
Problema. Las matrices A y B tienen entradas reales. La matriz A es de 3\times 3, la matriz B es de 2\times 3 y además
\[AB=\begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.\]
Determina el valor del producto BA.