Question

Obtén las raíces de la ecuación ax²+bx+c=0 mediante el método de completar el Trinomio Cuadrado Perfecto ​

Answer 1

Respuesta:

$x = \frac{ -b +- \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Explicación paso a paso:

$ax^2+bx+c=0$

Dividimos entre $a$ con tal de que el coeficiente de $x^2$ sea $1$:

$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$

Ahora al coeficiente de $x$, lo dividimos entre $2$:

$\frac{\frac{b}{a}}{2} = \frac{b}{2a}$

A ambos lados de la ecuación le sumamos: $(\frac{b}{2a})^2$

$x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2+\frac{c}{a} = (\frac{b}{2a})^2$

Agrupamos:

$(x+\frac{b}{2a} )^2 + \frac{c}{a} = (\frac{b}{2a})^2$

*Al coef. de $x$ lo habíamos dividido entre 2 con el único fin de llegar al binomio al cuadrado $(x+\frac{b}{2a} )^2$

Ahora tratemos que $x$ quede en un solo miembro para obtener las raíces:

$(x+\frac{b}{2a} )^2 = (\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a}$

$(x+\frac{b}{2a} )^2 = \frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\\(x+\frac{b}{2a} )^2 = \frac{ab^2 - 4a^2c}{4a^3}\\\sqrt{(x+\frac{b}{2a} )^2 } = +-\sqrt{\frac{ab^2 - 4a^2c}{4a^3}}$

*La razón por la que colocamos $(+-)$, es debido al cuadrado $(x+\frac{b}{2a})$, ya que este puede ser tanto un número positivo o negativo.

$x+\frac{b}{2a} = +-\sqrt{\frac{ab^2 - 4a^2c}{4a^3}$

$x + \frac{b}{2a} = +-\frac{\sqrt{b^2-4ac} }{2a} \\x = \frac{ -b +- \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Esta fórmula también se conoce como fórmula general para ecuaciones cuadráticas