Question

Auxilio necesito saber 5 diferencias y 5 semejanzas entre la potensia n-ésima de una variable y la potencia n-ésima de un binomio, al que me conteste le ayudo con su tarea

Answer 1

Respuesta:En matemática, el teorema del binomio es una fórmula que proporciona el desarrollo de la {\displaystyle n}n-ésima potencia de un binomio, siendo {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}{\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}. De acuerdo con el teorema, es posible expandir la potencia {\displaystyle (x+y)^{n}}{\displaystyle (x+y)^{n}} en una suma que implica términos de la forma {\displaystyle ax^{b}y^{c}}{\displaystyle ax^{b}y^{c}}, donde los exponentes {\displaystyle b,c\in \mathbb {N} }{\displaystyle b,c\in \mathbb {N} }, es decir, son números naturales con {\displaystyle b+c=n}{\displaystyle b+c=n}, y el coeficiente {\displaystyle a}a de cada término es un número entero positivo que depende de {\displaystyle n}n y {\displaystyle b}b. Cuando un exponente es cero, la correspondiente potencia es usualmente omitida del término.

El coeficiente {\displaystyle a}a en los términos de xbyc - xcyb es conocido como el coeficiente binomial {\displaystyle {\binom {n}{b}}}{\displaystyle {\binom {n}{b}}} o {\displaystyle {\binom {n}{c}}}{\displaystyle {\binom {n}{c}}} (los dos tienen el mismo valor).

Explicación paso a paso:

Este teorema establece que cualquier potencia de un binomio {\displaystyle x+y}{\displaystyle x+y} puede ser expandida en una suma de la forma:

{\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}={n \choose 0}x^{n}+{n \choose 1}x^{n-1}y+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}xy^{n-1}+{n \choose n}y^{n}}{\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}={n \choose 0}x^{n}+{n \choose 1}x^{n-1}y+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}xy^{n-1}+{n \choose n}y^{n}}

{\displaystyle {\binom {n}{k}}}{\displaystyle {\binom {n}{k}}} es el coeficiente binomial, el cual representa el número de formas de escoger {\displaystyle k}k elementos de un conjunto con {\displaystyle n}n elementos.

Usando la fórmula de cálculo de dicho coeficiente, se obtiene la siguiente ecuación:

(1){\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}x^{n-k}y^{k}}{\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}x^{n-k}y^{k}}

espero haberte ayudado