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Las reglas de los exponentes son muy útiles cuando simplificamos y evaluamos expresiones. Cuando multiplicas, divides o elevas a una potencia, usar las reglas de los exponentes te ayuda a hacer el proceso más eficiente. Ahora veamos estas reglas para encontrar el producto o cociente de una potencia.
Un Producto Elevado a una Potencia
Una vez que entiendes las reglas de los exponentes, puedes empezar a resolver expresiones complicadas más fácilmente. Recuerda que cuando tienes la potencia de una potencia, multiplicas los exponentes, (xa)b = xa·b.
¿Qué pasa cuando elevas toda una expresión dentro de paréntesis a una potencia? Puedes usar las técnicas que ya conoces para simplificar esta expresión.
(2a)4 = (2a)(2a)(2a)(2a) = (2 • 2 • 2 • 2)(a • a • a • a) = (24)(a4) = 16a4
Observa que el exponente se aplica a cada factor de 2a. Entonces, podemos eliminar los pasos intermedios.
(2a)4 = (24)(a4), aplicando el 4 a cada factor, 2 y a.
= 16a4
El producto de dos o más números elevados a una potencia es igual al producto de cada número elevado a esa potencia.
Un Producto Elevado a una Potencia
Para cualesquiera números a y b distintos de cero y cualquier entero x, (ab)x = ax • bx.
¡Precaución! No intentes aplicar estas reglas a sumas. Piensa en la expresión (2 + 3)2. ¿Es (2 + 3)2 igual a 22 + 32 ? No, no lo es t — (2 + 3)2 = 52 = 25 y 22 + 32 = 4 + 9 = 13. Entonces, solamente puedes usar esta regla cuando los números dentro del paréntesis están siendo multiplicados (o divididos, como veremos a continuación).
Ejemplo
Problema
Simplificar. (2yz)6
26y6z6
Aplicar el exponente a cada número en el producto.
Respuesta
(2yz)6 = 64y6z6
Si la variable tiene un exponente, usa las reglas de las potencias: multiplica los exponentes.
Ejemplo
Problema
Simplificar. (−7a4b)2
(−7)2(a4)2(b)2
Aplica el exponente 2 a cada factor dentro del paréntesis.
49a4•2 b2
Eleva al cuadrado el coeficiente y usa la regla de la potencia para elevar al cuadrado (a4)2.
49a8 b2
Simplificar.
Respuesta
(−7a4b)2 = 49a8 b2
Simplificar la expresión.
(−3x3y2)4
A) x4y4
B) -81xy8
C) 81x12y8
D) 81x7y6
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Un Cociente Elevado a una Potencia
Ahora veamos lo que pasa si elevas un cociente a una potencia. Supongamos que tienes y lo elevas a la 3ra potencia.
Puedes ver que elevar un cociente a la potencia 3 también se puede escribir como el numerador (3) a la potencia de 3, y el denominador (4) a la potencia de 3.
De manera similar, si usas variables, el cociente elevado a una potencia es igual al numerador elevado a la potencia sobre el denominador elevado a la potencia.
Explicación paso a paso:
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