Question

El reloj de pared que se observa en la figura tiene un minutero con longitud 14 cm, en él se muestra su posición para tres tiempos 12:00 pm, 12:05 pm y 12:10 pm. Si consideramos que el minutero es un vector las coordenadas polares y rectangulares a las 12:00 pm serían, respectivamente:
(P_1 ) ⃗(polar)=(14 cm,90°)

(P_1 ) ⃗(rectangulares)=14 cm cos⁡(90°) i ⃗+14 cm sen(90°) j ⃗= 0+14 cm×1 j ⃗=14 cm j ⃗

Con base en la anterior información, determinar:
a) Las coordenadas polares y rectangulares del vector en las posiciones: 12:05 pm y 12:10 pm.
b) El vector desplazamiento entre las 12:00 pm y 12:10 pm
c) La magnitud de la velocidad tangencial entre las 12:00 pm y 12:10 pm
d) La frecuencia angular y el periodo de la aguja del minutero.

Answer 1

a) El vector posición del minutero es $(7cm;12,1cm)~o~14cm\angle60\°$ a las 12:05 y $(12,1cm;7cm)~o~14cm\angle30\°$.

b) El vector desplazamiento entre las 12:00 y las 12:10 es (7;-1,9).

c) La velocidad tangencial entre las 12:00 y las 12:10 es de 2,44 centímetros por segundo.

d) La frecuencia angular es de 0,0017 radianes por segundo y el periodo es de 3600 segundos.

Explicación:

a) Cuando el minutero está en las 12:05, tiene un ángulo de 30° respecto de la vertical, o 60° respecto de la horizontal, por lo que su vector posición es:

$x=14cm.cos(60\°)=7cm\\y=14cm.sen(60\°)=12,1cm$

Y en las 12:10 está 30° respecto de la horizontal si consideramos que cada 5 minutos hace un desplazamiento angular de 30°:

$x=14cm.cos(30\°)=12,1cm\\y=14cm.sen(30\°)=7cm$

b) Para hallar el vector desplazamiento solo tenemos que restar los vectores posición de las 12:10 y de las 12:00:

$D=(7;12,1)-(0;14)=(7-0;12,1-14)=(7;-1,9)$

c) La velocidad tangencial, sabiendo que el minutero tardó 10 minutos en recorrer la distancia que constituye un sexto del arco de la circunferencia es:

$v=\frac{x}{t}=\frac{\frac{2\pi.14cm}{6}}{600s}\\\\v=0,0244\frac{m}{s}=2,44\frac{cm}{s}$

d) sabiendo que el periodo es de una hora, o sea 3600 segundos, la velocidad angular es:

$v=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{3600}=0,0017s^{-1}$