Question

Dos autos separados por una distancia de 40m parten al mismo tiempo en direcciones opuestas con

velocidades iniciales de 32m/s y 28m/s y aceleraciones de 6m/s2 y 8m/s2 respectivamente.

Hallar el tiempo que tardan en encontrarse.

Answer 1

Hola!

Algunas cosas que debemos aclarar, los autos tienen la misma dirección pero en sentido contrario, en ese caso, la aceleración del segundo móvil, no puede ser negativa al igual su velocidad inicial, por el simple echo de ir hacia el eje -X de las abscisas, ya que sería un movimiento acelerado retardado y en vez de aceleración sería una desaceleración.

Entonces, Comenzamos!

Para el tiempo de encuentro con MRUV, debemos saber que :

La distancia total es la suma de la distancia del primer móvil hasta el encuentro con la distancia del segundo móvil hasta el encuentro, es decir:

$\large\boxed{ \mathbf{ d_{T} = d_{1} + d_{2}}}$

Descomponemos las distancias respectivas, Sabiendo la ecuación independiente de la velocidad final en MRUV:

$\large \boxed{ \mathbf{ d = V_{i} t + \frac{1}{2}at² }}$

Entonces:

$d_{T} = (Vi_{1} t + \frac{1}{2}a_{1}t² )+ ( Vi_{2} t + \frac{1}{2}a_{2}t²)$

Luego, los datos que tenemos :

Distancia total (dT): 40m

Velocidad inicial del 1er móvil (Vi1): 32m/s

Aceleración del 1er móvil (a1): 6m/s²

Velocidad inicial del 2do móvil (Vi2): 28m/s

Aceleración del 2do móvil (a2): 8m/s²

tiempo de encuentro (t): ?

Reemplazamos esos valores, y omitimos las unidades:

$40 = ((32) t + \frac{1}{2}(6)t² )+ ( (28) t + \frac{1}{2}(8)t²)$

Resolvemos las operaciones:

$40 = ((32) t + \frac{1}{2}(6)t² )+ ( (28) t + \frac{1}{2}(8)t²) \\ 40 = (32t + 3 {t}^{2} ) + (28t + 4 {t}^{2} ) \\ 40 = 60t + 7 {t}^{2} \\ - 1 (- 7 {t}^{2} - 60t + 40 = 0) \\ 7 {t}^{2} + 60t - 40 = 0$

Luego, tenemos una ecuación cuadrática, la única forma de hallar los valores de "t" es aplicando la fórmula general:

$t_{1;2} = \frac{ - b ± \sqrt{ {b}^{2} - 4ac} }{2a}$

Según la ecuación cuadrática que tenemos, sabemos que :

a = 7 ; b = 60 ; c = - 40

Reemplazamos:

$t_{1;2} = \frac{ - (60)± \sqrt{ {(60)}^{2} - 4(7)( - 40)} }{2(7)} \\ t_{1;2} = \frac{ - 60± \sqrt{4720} }{14} \\ t_{1;2} = \frac{ - 60± 4 \sqrt{295} }{14} \\ t_{1} = \frac{ - 60 + 4 \sqrt{295} }{14} = - 9.19302s \\ t_{2} = \frac{ - 60 - 4 \sqrt{295} }{14} = 0.62159s$

Como el tiempo no puede ser negativa, tomamos el valor positivo.

Entonces, el tiempo que tardan en encontrarse es de 0,62 segundos.