Respuestas
Es necesario un lenguaje común para comunicar ideas matemáticas de manera clara y eficiente. La notación exponencial es un ejemplo. Se desarrolló para escribir multiplicaciones repetidas eficientemente. Por ejemplo, el crecimiento de organismos vivos por división de células. Un tipo de célula se divide 2 veces en una hora. Entonces, en 12 horas, la célula se divide 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 veces. Esto se puede escribir de manera más eficiente como 212.
Vocabulario Exponencial
Usamos la notación exponencial para escribir multiplicaciones repetidas, como 10 • 10 • 10 como 103. El 10 en 103 se llama base. El 3 en 103 se llama exponente. La expresión 103 se llama expresión exponencial.
base → 103 ←exponente
103 se lee como “10 a la tercera potencia” o “10 al cubo.” Significa 10 • 10 • 10, o 1,000.
82 se lee como “8 a la cuarta potencia” o “8 al cuadrado.” Significa 8 • 8, o 64.
54 se lee como “5 a la quinta potencia.” Significa 5 • 5 • 5 • 5, o 625.
b5 se lee como “ b a la quinta potencia.” Significa b • b • b • b • b. Su valor depende del valor de b.
El exponente aplica sólo al número junto a él. Entonces, en la expresión xy4, sólo la y es afectada por el 4. xy4 significa x • y • y • y • y.
Si la expresión exponencial es negativa, como −34, significa –(3 • 3 • 3 • 3) o −81.
Si −3 es la base, se debe escribir como (−3)4, que significa −3 • −3 • −3 • −3, o 81.
De la misma forma, (−x)4 = (−x) • (−x) • (−x) • (−x) = x4, mientras que −x4 = –(x • x • x • x).
¡Puedes ver que hay diferencia, por lo que debes tener mucho cuidado!
Evaluando Expresiones con Exponentes
Evaluar expresiones que contienen exponentes es igual que evaluar cualquier otra expresión. Sustituyes el valor de la variable en la expresión y simplificas.
Puedes usar PEMDAS para recordar el orden en el que debes evaluar una expresión. Primero, evalúa lo que está dentro de Paréntesis. Luego, busca Exponentes, seguido de Multiplicación y División (de izquierda a derecha), y finalmente, Adición y Sustracción (también de izquierda a derecha).
Entonces, cuando evalúas la expresión 5x3 si x = 4, primero sustituye el valor 4 en la variable x. Luego evalúa, usando el orden de las operaciones.
Ejemplo
Problema
Evaluar.
5x3 si x = 4
5 • 43
Sustituir 4 por la variable x.
5(4 • 4 • 4) = 5 • 64
Evaluar 43.
320
Multiplicar.
Respuesta
5x3 = 320 cuando x = 4
Observa la diferencia entre el ejemplo anterior y el siguiente.
Ejemplo
Problema
Evaluar.
(5x)3 si x = 4
(5 • 4)3
Sustituir 4 por la variable x.
203
Multiplicar.
20 • 20 • 20 = 8,000
Evaluar 203.
Respuesta
(5x)3 = 8,000 cuando x = 4
¡Incluir paréntesis la vuelve diferente!
Ejemplo
Problema
Evaluar.
x3 si x = −4
(−4)3
Sustituir −4 por la variable x.
−4 · −4 · −4
Evaluar.
−4 · −4 · −4 = −64
Multiplicar.
Respuesta
x3 = −64, cuando x = −4
Evaluar la expresión − (2x)4, si x = 3.
A) 1,296
B) −1,296
C) 162
D) −162
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Exponentes Cero y Uno
¿Qué significa que un exponente sea 0 o 1? Consideremos 251. Cualquier valor elevado a la potencia de 1 es simplemente el mismo valor. Esto tiene sentido, porque el exponente 1 significa que la base se usa sólo una vez como factor. Entonces la base queda sola, y 251 es simplemente 25.
Pero ¿qué pasa cuando se eleva a una potencia de 0? Usa lo que sabes de las potencias de 10 para averiguar qué significa una potencia de 0. Abajo hay una lista de las potencias de 10 y sus valores equivalentes. Observa cómo los números van cambiando hacia abajo en las columnas izquierda y derecha. Existe un patrón — ¿lo ves?
Forma Exponencial
Forma Expandida
Valor
105
10 • 10 • 10 • 10 • 10
100,000
104
10 • 10 • 10 • 10
10,000
103
10 • 10 • 10
1,000
102
10 • 10
100
101
10
10
Moviéndonos hacia abajo en la tabla, cada fila pierde un factor de 10 con respecto a la anterior, De la fila 1 a la 2, el exponencial va de 105 a 104. El valor disminuye de 100,000 a 10,000. Otra manera de verlo es que cada valor se divide entre 10 para producir el siguiente valor de la columna.
Usemos este patrón de división entre 10 para predecir el valor de 100.
Forma Exponencial
Forma Expandida
Valor
105
10 • 10 • 10 • 10 • 10
100,000
104
10 • 10 • 10 • 10
10,000
103
10 • 10 • 10
1,000
102
10 • 10
100
101
10
10
100
1
1
Siguiendo el patrón, puedes ver que 100 es igual a 1. ¿Es el mismo patrón si tenemos una base diferente? Por ejemplo la base 3.
Forma Exponencial
Forma Expandida
Valor
35
3 • 3 • 3 • 3 • 3
243
34
3 • 3 • 3 • 3
81
33
3 • 3 • 3
27
32
3 • 3
9
31
3
3
30
1
1
¡Sí! Y será el mismo patrón para cualquier número diferente de cero o variable elevada a la potencia 0, n0 = 1.
Hay un conflicto cuando la base es 0. Sabemos que 03 = 0, 02 = 0, y 01 = 0, entonces,