Respuestas
Respuesta:
Definici´on. La sucesi´on de n´umeros a1, a2, a3, . . . es una progresi´on aritm´etica (P.A.)
si y solo si, la diferencia an − an−1 es constante para todo n = 2, 3, 4, . . .
Nota. La diferencia constante se llama diferencia y se denota por d.
Luego:
a1, a2, a3, . . . es P.A. ⇐⇒ a2 − a1 = a3 − a2 = a4 − a3 = . . . = d
Ejemplos. Estudiar si cada sucesi´on es PA.
a : −3, 1, 5, 9, 13, . . . es P.A., an − an−1 = 4, d = 4.
b : 5, 8, 11, 14, 17, . . . es P.A., bn − bn−1 = 3, d = 3.
s : −
3
2
, −1, −
1
2
, 0,
1
2
, 1, . . . es P.A., sn − sn−1 =
1
2
, d =
1
2
.
c : 5, 3, 2, 0, −1, . . . no es P.A.
Observaciones
Sea a una P.A. con primer t´ermino a1 y diferencia d.
1. Ley de formaci´on o ley de recurrencia: an = an−1 + d, para todo n ≥ 2
2. F´ormula expl´ıcita para el t´ermino general an de la P. A.:
an = a1 + (n − 1)d , para todo n ∈ N
3. F´ormula para la suma de los n primeros t´erminos de la P. A., denotada Sn es:
Sn =
n
2
· (a1 + an) , para todo n ∈ N
Ejemplo. Considerar la sucesi´on a : −3, 1, 5, 9, 13, . . ..
• Esta sucesi´on es una P.A., tal que d = 4.
• Ley de formaci´on o recurrencia: an = an−1 + 4. O, bien; an = an−1 + 4.
• F´ormula expl´ıcita del t´ermino general an:
an = −3 + (n − 1) 4. Luego:
an = 4n − 7, para todo n ∈ N
• F´ormula para la Suma de los n primeros t´erminos de la P. A.: Sn =
n
2
·(a1+an),
para todo n ∈ N. Luego:
Sn =
n
2
· (−3 + (4n − 7))
Sn =
n
2
· (4n − 10)
• Suma de los 100 primeros t´erminos de la P. A.:
S100 =
100
2
· (4(100) − 10) = 19500
Inst. de Matem´atica y F´ısica
Universidad de Talca
1
Matem´atica 1 Unidad 3 CPA
Ejemplo.
1. La media aritm´etica entre 3 y 81 es: m =
3+81
2 =
84
2 = 41
2. Interpolar 3 medios aritm´eticos entre 3 y 81.
Diferencia = d =
81−3
4 =
78
4 =
39
2
Luego, los tres medios aritm´eticos solicitados son:
g1 = 3 + 39
2 =
45
2
, g2 =
45
2 +
39
2 = 42, g3 = 42 + 39
2 =
123
2
.
Ejercicio 1. La sucesi´on a : 100, 97, 94, 91, 88, . . .. es una PA. Determinar si las
siguientes afirmaciones son verdaderas:
a) La diferencia d = −3
b) El t´ermino de lugar 50 es: a50 = −47
c) F´ormula explicita de an: an = 103 − 3n
d) Suma de los 50 primeros terminos de la P.A.: S50 = 1325
e) Suma de los n primeros terminos de la P.A.: Sn =
n
2
(203 − 3n)
Ejercicio 2. Sea a la sucesion definida por an = 5n − 4, para todo n ∈ N.
a) Determinar si es PA. b) Calcular la suma de los 100 primeros t´erminos.
Ejercicio 3. Sea a una PA, tal que a12 = 10, y d = 3.
a) Determinar: a1, y an b) Calcular la suma de los 100 primeros t´erminos.
Explicación paso a paso:
bueno hay esta la respuesta si no te sirve paque lo hice