Question

Un proyectil de masa m se mueve hacia la derecha con una rapidez Vi. El proyectil golpea y se pega al extremo de una barra estable de masa M y longitud d articulada en torno a un eje sin fricción a través de su centro.

a) encuentre la rapidez angular del sistema justo después de la colisión
b) Determine la pérdida fraccional en energía mecánica debido a la colisión

Answer 1

La velocidad angular de la barra después del choque es $w=\frac{3mv}{(m+M).d}$, y la fracción de energía mecánica perdida en la  colisión es $p=\frac{M-2m}{m+M}$

Explicación:

La colisión entre el proyectil de masa 'm' y la barra de masa M es un evento donde se conserva la cantidad de movimiento, el momento lineal del proyectil se transforma en momento angular en la barra.

$mv=\frac{L}{d}\\\\mv=\frac{I.w}{d}$

a) Aquí podemos reemplazar por la expresión del momento de inercia para una barra pivotando sobre uno de sus extremos, que pasa a tener una masa igual a m+M ya que el proyectil queda adherido a ella:

$mv=\frac{1}{3}(M+m)d.w$

Y de aquí despejamos la velocidad angular:

$w=\frac{3.m.v_i}{(m+M).d}$

b) La energía con que queda el sistema luego del choque es:

$E=\frac{1}{2}Iw^2$

Y la energía del proyectil antes del choque es:

$E=\frac{1}{2}mv^2$

La relación entre las energías antes y después de la colisión es:

$\eta=\frac{\frac{1}{2}Iw^2}{\frac{1}{2}mv^2}=\frac{Iw^2}{mv^2}\\\\I=\frac{1}{3}(m+M).d^2; w=\frac{3mv}{(m+M)d}=>Iw^2=\frac{1}{3}(m+M).d^2.\frac{9m^2v^2}{(m+M)^2.d^2}\\\\\\Iw^2=\frac{3m^2v^2}{(m+M)}\\\\\eta=\frac{\frac{3m^2v^2}{m+M}}{mv^2}=\frac{3m}{m+M}$

Y la fracción de energia perdida en el choque es:

$p=1-\eta=1-\frac{3m}{m+M}=\frac{M-2m}{m+M}$