Question

Cecilia escribio en la pizarra 5 numeros naturales consecutivos y Beatriz escribio 7 numeros naturales consecutivos, de tal forma que los 12 numeros son diferentes. la suma de los numeros de Cecilia es igual a S, y la suma de los numeros de Beatriz tambien es S. determine el menor valor posible de s

Answer 1

Cecilia escribio: x, x+1, x+2, x+3 y x+4.

La suma de eso es 5x + 10

Beatriz escribió: y, y+1, y+2, y+3, y+4, y+5, y+6

Las suma de eso es 7y + 21

Las dos sumas son iguales: 5x + 10 = 7y + 21

5x = 7y + 11

Hay infinitos pares x,y que cumplen con esa ecuación. Vamos a determinar cuáles son pares de números enteros.

Para ello se busca parametrizar la ecuación en funcion de un k que será entero.

Despejamos x: x = [7y +11]/5

Como x es entero la parte derecha tambien lo sera

[7y + 11]/5 = entero

separamos el numerador en dos grupos uno de los cuales sea multiplo del denominador:

[5y + 2y + 10 + 1]/5 = [5y + 10]/5 + [2y + 1]/5 = y + 2 + [2y + 1]/5

como el miembro izquierdo y (y+2) son enteros, lo que queda tambien sera entero

[2y +1]/5 = entero

Multiplicamos el numerador por 3 (para que luego el residuo de dividir entre 5 sea 1)

[6y + 3]/5 = entero [porque es el resultado de multiplicar un entero por 3]

[5y + y + 3]/ 5 = 5y/ 5 +[y+3]/5 = y + [y+3]/5 

Como el miembreo izquierdo y y son enteros, el resto tambien sera entero

llamemos k a ese entero

[y+3]/5 = k

y = 5k - 3 [es nuestra primera ecuacion de y parametrizada]

Ahora sustituimos ese valor de y en nuestra ecuacion inicial de x despejada.

x = [7y + 11]/5 = [7(5k -3) + 11]/5 = [35k - 21 +11]/5 = 7k-2

Esa es la ecuacion de x parametrizada

Pongamos juntas las dos ecuaciones parametrizadas:

y = 5k - 3
x = 7k-2

Dando valores enteros a K hallamos los valores enteros de x y y

k = 1, y = 2, x =5

Esos son los menores valores posibles para x, y; pero resultan en numeros repetidos en la pizarra.

Para k = 2

y = 5(2) - 3 = 7
x = 7(2) - 2 = 12

k = 3

y = 5(3) - 3 = 15 - 3 = 12
x = 7(3) - 2 = 21 - 2 =19

De esa forma, Beatriz escribiio 12, 13, 14, 15, 16, 17 y 18
Cecilia escribio: 19, 20, 21, 22 y 23.

Verifiquemos la suma de cada grupo de numeros>

12+13+14+15+16+17+18 = 105
19+20+21+22+23= 105

Respuesta: el menor valor posible de s es 105.

Answer 2

LLama x al primer numero que escribio Cecilia, entonces los cinco numeros que ella escribiio son x, x+1,x+2,x+3,x+4. Y su suma es S= 5x+10

Llama y al primer numero que escribio Beatriz, entonces los siete numeros que ella escribio son: y,y+1,y+2,y+3,y+4,y+5,y+6. Cuya suma es S = 7y+21

De esas condiciones resulta la siguiente ecuacion: 5x+10=7y+21

Que tiene ademas que cumplir con x=entero, y = entero, todos los numeros diferentes.

El metodo para hallar tal solucion es parametrizar los dos miembros (izquierdo y derecho) en funcion de un entero para luego dar valores variables a ese entero y encontrar la solucion que cumple las condiciones.


Empezamos despejando la variable que tiene menor coeficiente, x, quedando:

x = [7y +11]/5

Como x es entero la parte derecha tambien lo sera

[7y + 11]/5 = entero

Separamos el numerador en dos grupos uno de los cuales sea multiplo del denominador:

[5y + 2y + 10 + 1]/5 = [5y + 10]/5 + [2y + 1]/5 = y + 2 + [2y + 1]/5

Como tanto el miembro izquierdo como (y+2) son enteros, lo que queda tambien es entero

[2y +1]/5 = entero

Multiplicamos el numerador por 3 (para que luego el residuo de dividir entre 5 sea 1)

[6y + 3]/5 = entero [porque es el resultado de multiplicar un entero por 3]

Separamos el numerador como hicimos antes:

[5y + y + 3]/ 5 = 5y/ 5 +[y+3]/5 = y + [y+3]/5

Como el miembreo izquierdo y "y" son enteros, el resto tambien sera entero

llamemos n a ese entero

[y+3]/5 = n

y = 5n - 3 [es nuestra primera ecuacion de "y"]

Ahora sustituimos ese valor de "y" en nuestra ecuacion inicial de x despejada.

x = [7y + 11]/5 = [7(5n -3) + 11]/5 = [35n - 21 +11]/5 = 7n-2

Esa es la ecuacion de x parametrizada

Pongamos juntas las dos ecuaciones parametrizadas:

y = 5n - 3
x = 7n-2

Dando valores enteros a n hallamos los valores enteros de x y y

n = 1, y = 2, x =5

Esos son los menores valores posibles para x, y; pero resultan en numeros repetidos en la pizarra [2,3,4,5,6,7,8 y 5,6,7,8,9]

Para n = 2

y = 5(2) - 3 = 7
x = 7(2) - 2 = 12

Tambien resulta en numeros repetidos: 7,8,9,10,11,12,13 y 12,13,14,15,16

n = 3

y = 5(3) - 3 = 15 - 3 = 12
x = 7(3) - 2 = 21 - 2 =19

De esa forma, Beatriz escribiio 12, 13, 14, 15, 16, 17 y 18
Cecilia escribio: 19, 20, 21, 22 y 23.

Verifiquemos la suma de cada grupo de numeros>

12+13+14+15+16+17+18 = 105
19+20+21+22+23= 105

Respuesta: el menor valor posible de la suma de los numeros escritos por Cecilia y Beatriz  es 105