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4. Cálculo de raíces de ecuaciones
El objeto del cálculo de las raíces de una ecuación es determinar los valores de x para los que se cumple:
f(x) = 0 (28)
La determinación de las raíces de una ecuación es uno de los problemas más antiguos en matemáticas y se han realizado un gran número de esfuerzos en este sentido. Su importancia radica en que si podemos determinar las raíces de una ecuación también podemos determinar máximos y mínimos, valores propios de matrices, resolver sistemas de ecuaciones lineales y diferenciales, etc...
La determinación de las soluciones de la ecuación (28) puede llegar a ser un problema muy difícil. Si f(x) es una función polinómica de grado 1 ó 2, conocemos expresiones simples que nos permitirán determinar sus raíces. Para polinomios de grado 3 ó 4 es necesario emplear métodos complejos y laboriosos. Sin embargo, si f(x) es de grado mayor de cuatro o bien no es polinómica, no hay ninguna fórmula conocida que permita determinar los ceros de la ecuación (excepto en casos muy particulares).
Existen una serie de reglas que pueden ayudar a determinar las raíces de una ecuación:
El teorema de Bolzano, que establece que si una función continua, f(x), toma en los extremos del intervalo [a,b] valores de signo opuesto, entonces la función admite, al menos, una raíz en dicho intervalo.
En el caso en que f(x) sea una función algebraica (polinómica) de grado n y coeficientes reales, podemos afirmar que tendrá n raíces reales o complejas.
La propiedad más importante que verifican las raíces racionales de una ecuación algebraica establece que si p/q es una raíz racional de la ecuación de coeficientes enteros:
\begin{eqnarray*}a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + \dots + a_{n}x^{n} = 0 & (a_{i} \in
\mathcal{Z})
\end{eqnarray*}
entonces el denominador q divide al coeficientes an y el numerador p divide al término independiente a0.
Ejemplo: Pretendemos calcular las raíces racionales de la ecuación:
3x3 + 3x2 - x - 1 = 0
Primero es necesario efectuar un cambio de variable x = y/3:
\begin{displaymath}3\frac{y^{3}}{3^{3}} + 3\frac{y^{2}}{3^{2}} - \frac{y}{3} - 1 = 0
\end{displaymath}
y después multiplicamos por 32:
y3 + 3y2 -3y -9 = 0
con lo que los candidatos a raíz del polinomio son:
\begin{eqnarray*}y = 9; & y = -9; \\
y = 3; & y = -3; \\
y = 1; & y = -1
\end{eqnarray*}
Sustituyendo en la ecuación, obtenemos que la única raíz real es y = -3, es decir, $x = \frac{-3}{3} = -1$ (que es además la única raíz racional de la ecuación). Lógicamente, este método es muy poco potente, por lo que sólo nos puede servir a modo de orientación.
La mayoría de los métodos utilizados para el cálculo de las raíces de una ecuación son iterativos y se basan en modelos de aproximaciones sucesivas. Estos métodos trabajan del siguiente modo: a partir de una primera aproximación al valor de la raíz, determinamos una aproximación mejor aplicando una determinada regla de cálculo y así sucesivamente hasta que se determine el valor de la raíz con el grado de aproximación deseado.