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Explicación paso a paso:
1- Polinomio de grado 4 que tenga 1, 2, 3 y 4 como raíces.
Como ya expliqué en varias oportunidades, un polinomio de grado "n" se puede factorizar según sus raíces de la siguiente forma:
a.(x - x1).(x - x2)........(x - xn)
Siendo x1, x2,..., xn sus "n" raíces (ojo que si hablamos de raíces reales, el polinomio puede tener menos de "n" raíces reales). Y siendo "a" el coeficiente principal del polinomio.
Así que si me piden que encuentre un polinomio que tenga determinadas raíces, puedo armarlo con factores (x - raíz). En tu ejemplo, si el polinomio es de grado 4, su forma factorizada podría ser:
a.(x - x1).(x - x2).(x - x3).(x - x4)
Y como las raíces deben ser: 1, 2, 3, y 4, podría armarlo así:
(x - 1).(x - 2).(x - 3).(x - 4)
Ése polinomio tiene como raíces a 1, 2, 3 y 4, como te pide el enunciado. Y es de grado 4, porque si aplicás la distributiva llegás a un polinomio de grado 4. Como el enunciado no exige ninguna otra condición, le puedes poner cualquier coeficiente principal, o ninguno (el "1" en realidad), como hice yo ahí arriba.
Podemos comprobar que efectivamente son raíces, reemplazando cada una en el polinomio. Recordemos que para que un número sea raíz de un polinomio nos tiene que dar cero al reemplazarlo por la indeterminada:
Con el 1:
P (x) = (x - 1).(x - 2).(x - 3).(x - 4)
P (1) = (1 - 1).(1 - 2).(1 - 3).(1 - 4) = 0.(-1).(-2).(-3) = 0
El 1 es raíz, porque al reemplazarlo en su indeterminada, el valor numérico del polinomio es cero.
Con el 2:
P(2) = (2 - 1).(2 - 2).(2 - 3).(2 - 4) = 1.0.(-1).(-2) = 0
Lo mismo para el 2.
Y lo mismo va a pasar con el 3 y 4. Hacer esta comprobación, con el polinomio así factorizado, también ayuda a darse cuenta de por qué se puede factorizar así un polinomio con sus raíces: por estar multiplicando el factor (x - raíz), cuando se reemplaza la x por dicha raíz queda (raíz - raíz), y eso es igual a cero. Entonces queda un cero multiplicando. Y cualquier cosa multiplicada por cero dá cero.
Luego, si queremos tener el polinomio como suma y resta de términos, hay que multiplicar los factores, aplicando la propiedad distributiva por ejemplo:
(x - 1).(x - 2).(x - 3).(x - 4)
(x2 - 2x - x + 2).(x2 - 4x - 3x + 12) =
(x2 - 3x + 2).(x2 - 7x + 12) =
x4 - 7x3 + 12x2 - 3x3 + 21x2 - 36x + 2x2 - 14x + 24 =
x4 - 10x3 + 35x2 - 50x + 24
Ves como llegamos a un polinomio de grado 4, y eso es porque en algún momento multiplicamos x.x.x.x = x4, y no hay multiplicación que dé con un grado mayor que ése.
Y como te decía, puedes ponerle cualquier valor a "a", por eso hay infinitos polinomios que cumplen con lo que te pide el enunciado. Por ejemplo:
3.(x - 1).(x - 2).(x - 3).(x - 4)
-5.(x - 1).(x - 2).(x - 3).(x - 4)
etc. etc.
En esta misma página, en otras consultas que respondí, puedes ver más explicación y ejemplos sobre esto.