¿Cuál es el único caso en el que una radicación no tiene solución en el conjunto numérico de los números enteros?, Justificar su respuesta.
Respuestas
Se define la raíz enésima de un número a, donde n es un número entero positivo, a cualquiera de las n soluciones reales o complejas de la ecuación
{\displaystyle x^{n}-a=0}{\displaystyle x^{n}-a=0}
de incógnita x y se denota como {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}\sqrt[n]{a}. De esta manera se tiene la equivalencia:4
{\displaystyle x^{n}=a\iff x={\sqrt[{n}]{a}}}{\displaystyle x^{n}=a\iff x={\sqrt[{n}]{a}}}.
La raíz cuadrada (n=2), por ser la más frecuente, se escribe sin superíndice: {\displaystyle {\sqrt {a}}}\sqrt{a} en vez de {\displaystyle {\sqrt[{2}]{a}}}{\displaystyle {\sqrt[{2}]{a}}}. Para el caso n=1 el símbolo de raíz {\displaystyle {\sqrt {\ }}}\sqrt{\ } ni siquiera se escribe, puesto que {\displaystyle {\sqrt[{1}]{a}}=a}{\displaystyle {\sqrt[{1}]{a}}=a}.
Dentro de los números reales positivos, siempre puede encontrarse una única raíz enésima también positiva. Si el número a es negativo entonces sólo existirá una raíz real cuando el índice n sea impar.4 La raíz enésima de un número negativo no es un número real (no está definida dentro de los números reales) cuando el índice n es par.
Dentro de los números complejos, para cada número z siempre es posible encontrar exactamente n raíces enésimas diferentes.
Fundamentos matemáticos
Relación con la potenciación
La radicación de orden n y la potenciación del mismo orden se anulan entre sí. Tomando la definición general de raíz para reales positivos a y para naturales n se tiene que:
{\displaystyle \left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{n}=a}{\displaystyle \left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{n}=a}
La raíz de cierto orden n de un número es equivalente a elevar dicho número a la potencia inversa {\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}{\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}. De acuerdo con las reglas de potenciación,
{\displaystyle \left(a^{\frac {1}{n}}\right)^{n}=a^{\frac {n}{n}}=a^{1}=a}{\displaystyle \left(a^{\frac {1}{n}}\right)^{n}=a^{\frac {n}{n}}=a^{1}=a}
de manera que la radicación de orden n puede ser interpretado en realidad como otra forma de expresar una potenciación de exponente {\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}{\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}.
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}=a^{\frac {1}{n}}}{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}=a^{\frac {1}{n}}}
Singularidad de las raíces de números positivos
Aunque el problema mencionado antes de hallar las raíces de números positivos tiene realmente dos soluciones con distinto signo cuando el índice n es par, el símbolo {\displaystyle {\sqrt {\ }}}\sqrt{\ } aplicado al radicando denota una función y por tanto tiene que devolver un único valor que en principio es para la solución positiva. Por ejemplo, la ecuación {\displaystyle x^{2}=4}{\displaystyle x^{2}=4} tiene las soluciones +2 y -2 pero a {\displaystyle {\sqrt {4}}}{\displaystyle {\sqrt {4}}} se le asigna el valor 2 y no -2.
{\displaystyle {\sqrt[{2n}]{x^{2n}}}=|x|\,.}{\displaystyle {\sqrt[{2n}]{x^{2n}}}=|x|\,.}
Raíces de números negativos
El tratamiento de raíces de números negativos no es uniforme. Por ejemplo, de
{\displaystyle (-2)^{3}=-8}{\displaystyle (-2)^{3}=-8}
se tiene que -2 es el único número real cuyo cubo da -8. En general, las potencias de exponente natural impar de números negativos dan de nuevo números negativos.
Con respecto a las raíces impares de números negativos, se sigue la pauta de no representar el signo negativo dentro del radicando, pudiendo ser considerado indefinido o no permitido. Tomando este criterio, la solución a la ecuación
{\displaystyle x^{3}=-8}{\displaystyle x^{3}=-8}
debe representarse como {\displaystyle -{\sqrt[{3}]{8}}}{\displaystyle -{\sqrt[{3}]{8}}} y no como {\displaystyle {\sqrt[{3}]{-8}}}{\displaystyle {\sqrt[{3}]{-8}}}. Escrito de esta manera, las raíces de números negativos se permiten si el índice de la raíz es un número impar (3, 5, 7, ...), siendo
{\displaystyle {\sqrt[{2n+1}]{-a}}=-{\sqrt[{2n+1}]{a}}}{\displaystyle {\sqrt[{2n+1}]{-a}}=-{\sqrt[{2n+1}]{a}}}
Representar las raíces de esta manera evita ciertas incompatibilidades y contradicciones con algunas propiedades de las raíces que son válidas para radicandos positivos. Una muestra de ello puede ser,
{\displaystyle -2={\sqrt[{3}]{-8}}\neq {\sqrt[{6}]{(-8)^{2}}}={\sqrt[{6}]{64}}=+2.}{\displaystyle -2={\sqrt[{3}]{-8}}\neq {\sqrt[{6}]{(-8)^{2}}}={\sqrt[{6}]{64}}=+2.}
La representación considerada indefinida tampoco funciona con la fórmula
{\displaystyle {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}=a^{\frac {1}{n}}=\exp \left({\frac {1}{n}}\ln a\right)}}{\displaystyle {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}=a^{\frac {1}{n}}=\exp \left({\frac {1}{n}}\ln a\right)}}
dado que el logaritmo de un número negativo no está definido (a no puede ser negativo).
me costo :p