Question

Se desea construir un depósito rectangular de base cuadrada abierto por arriba. Debe tener 125 m3 de capacidad. si el costo de las caras laterales es de 2 pesos por m2, y el del fondo es de 4 pesos m2 ¿cuáles deben ser las dimensiones para que el costo sea mínimo?

Answer 1

Llamemos “x” a los lados de la base cuadrada e “y” a la altura del depósito. El costo total será: 

Ct = Cbase + 4 * Clados 

Ct = 4 (pesos/m²) * Area_base + 2 (pesos/m²) * ( 4 * Area_lado) 

Ct = 4 x² + 8 xy 

Pero como el volumen final debe ser de 125 m³: 

V = x² y = 125 

y = 125/x² 

Remplazando este valor de “y” en el costo: 

Ct = 4 x² + 8 x (125/x²) = 4 x² + 1000/x 

Ya tenemos la expresión del Costo total en función de una sola variable “x”. Si ahora la derivamos e igualamos a cero, obtendremos los valores de “x” que la hacen máxima o mínima. 

Ct'(x) = 8 x - 1000/ x² = 0 

8x = 1000/ x² 

x³ = 1000/8 

► x = 10/2 = 5 m 

► y = 125/x² = 125/25 = 5 m 

► Ct = 4 x² + 8 xy = 4 . 5² + 8 . 5 . 5 = 300 pesos 

Para comprobar que el valor de “x” hallado corresponde a un mínimo y no a un máximo, hallamos la derivada segunda y remplazamos el valor de “x” en cuestión: 

Ct''(x) = 8 + 2000/ x³ = 8 + 2000/125 > 0 => Mínimo