Question

Determine el volumen del sólido en el primer octante acotado superiormente por el cilindro z = 4 - y^2 y comprendido por los planos verticales y = 0 y x = 4 – y
La resolución debe hacerse mediante el planteamiento de una integral triple.

Answer 1

Explicación:

$V=\iint_{R}[\int_{0}^{4-y^2}dz]dA\\=\int_{0}^{2}\int_{0}^{4-y}\int_{0}^{4-y^2}dzdxdy\\=\int_{0}^{2}\int_{0}^{4-y}[z|_{0}^{4-y^2}dxdy\\=\int_{0}^{2}\int_{0}^{4-y}(4-y^2)dxdy\\=\int_{0}^{2}(4-y^2)[x|_{0}^{4-y}dy\\=\int_{0}^{2}(4-y^2)(4-y)dy\\=\int_{0}^{2}(y^3-4y^2-4y+16)dy\\=[{\frac{1}{4}}y^4-\frac{4}{3}y^3-2y^2+16y|_{0}^{2}\\=\frac{52}{3}\:u^3$