Respuestas
→CURVAS CÓNICAS. ELIPSE
La elipse es una curva cónica cerrada, plana y simétrica respecto a sus ejes mayor y menor, perpendiculares entre sí. Es el resultado de la sección de un cono por un plano oblicuo a su eje de simetría con ángulo mayor que el que forma la generatriz del cono respecto al eje de revolución.
Se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos fijos denominados focos es constante. AF1+AF2= cte=2a.
Su excentricidad es siempre menor que la unidad.
→ELEMENTOS Y CARACTERÍSTICAS
La suma de distancias de un punto de la curva a los focos es constante e igual a la magnitud del eje mayor o eje real y se designa “2a”. Los focos están situados sobre este eje y a igual distancia de su punto medio.
El eje menor o imaginario se designa “2b” y es normal (perpendicular) al real, ambos se cortan en el centro de la elipse y en sus respectivos puntos medios.
La distancia entre focos se denomina distancia focal (La distancia focal se designa 2c).
Las rectas que unen un punto de la curva con los dos focos se denominan radios vectores y se designan r y r’.
Circunferencias focal y principal de la elipse
Existen otra serie de elementos ‘ocultos’ decisivos en el trazado de elipses y tangentes a estas a saber:
La Circunferencia Principal, de diámetro igual al eje mayor y centro en el centro de la elipse.
Circunferencias Focales, de centro en los focos y radio de longitud igual al eje mayor de la elipse.
Si consideramos una recta “sT” tangente a la elipse, observaremos que los puntos simétricos de los focos, respecto de esta tangente (F1’, simétrico de F1), pertenecen a la circunferencia Focal de centro en el otro foco F2.
Por otra parte, las intersecciones de las proyecciones ortogonales de los focos sobre cualquier tangente trazada a la elipse, pertenecen a la Circunferencia Principal.
Elipse. Elementos
Elipse. Elementos
Diámetros de la elipse. Diámetros conjugados
Se denomina Diámetro de la Elipse a cualquier cuerda que pase por su centro.
Son Diámetros Conjugados en la elipse aquellos en donde cada uno de ellos divide en dos partes iguales a las cuerdas de la elipse trazadas paralelas al otro. Se cortan en su punto medio. Los ejes son los únicos diámetros conjugados normales entre sí.
Dado un diámetro de la elipse A’B’, el diámetro conjugado con él, es el lugar geométrico de los centros de las cuerdas paralelas a dicho diámetro (1, 2, 3, 4, etc.), estos centros determinan el diámetro conjugado D’C’ del dado. Figura 2
Mediante dos diámetros conjugados, podremos construir la elipse directamente, o bien obtener los ejes reales de la misma.
Diámetros conjugados de la elipse
Diámetros conjugados de la elipse
Determinación de los focos, conociendo los ejes
Trazamos los ejes perpendiculares entre sí por su punto medio y con centro en uno de los extremos del eje menor “C” dibujamos un arco de radio igual al semieje mayor que corta a este en F2 y F1, focos de la elipse.
Los extremos de los ejes son puntos de la elipse por lo que los radios vectores que concurren en C deben de sumar la longitud del eje mayor, por ser C centro del arco de radio el semieje mayor se verifica efectivamente que F1 C+F2 C=2a, Figura 3
Obtención Focos de la elipse y construcción por afinidad con la circunferencia
Obtención focos de la elipse y construcción por afinidad con la circunferencia.
→TRAZADO DE ELIPSES
A continuación estudiaremos algunos de los métodos que se pueden utilizar para trazar elipses.
Construcción de elipses conociendo los ejes
Método de proyección de puntos (Afinidad entre la Circunferencia Principal y la Elipse)
Dibujamos dos circunferencias de diámetros iguales a los ejes de la cónica y centro en O. Trazamos varios diámetros comunes a ambas circunferencias.
Por los puntos de intersección de estos diámetros con la circunferencia mayor (Circunferencia Principal) (ej.: x), trazamos normales al eje mayor.
Trazamos normales al eje menor donde estos diámetros corten a la circunferencia de radio menor (ej: y).
↓
Éxito!!