Question

sea la funcion : F(X) =2^x+3 ; x ∈<-4;1]
hallar su rango

Answer 1

No me queda claro si es 2^(x+3) o (2^x)+3
Luego en el intervalo el primer parentesis debería ser [, entonces x pertenece a [-4,1] sino te queda menor a 4 y luego el 1
Si es la 1era opción creo que la imágen o el rango serían los reales mayores a cero. Tenes una exponencial con asíntota horizontal cuando x se va a menos infinito en el y=0 Y la función solo crece a partir de allí y de hecho se va a infinito.
Eso de la asíntota lo podes ver en que el elevar 2 (o cualquier nº) a la algo, no puede darte un nº negativo.
Entonces la función 2^(....) no puede ser nunca negativa.
Si elevas 2^(algo positivo) creo que es más evidente de que no te va a dar algo negativo. Luego en el otro caso lo único que pasa (cuando elevas 2 a la "algo negativo" cualquier q sea) es que te queda 1 sobre el 2 elevado a ese algo pero en positivo. Ejemplo 2^(-3) = 1/(2^3). Ahí ves que estas funciones nunca son negativas.

Ahora si tenes un dominio restringido como en este caso podes aclarar un poco más. Lo 1ero que haría sería intentar derivar o probar de alguna manera que la función es SIEMPRE creciente. Y luego ya podes decir que el mayor valor de la imagen está en x=1 y que el valor más peqño de la imágen está en x=-4. Qda un rango de [1/2,2^4] para la función