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Respuesta:
Máximo común divisor
El máximo común divisor, {m.c.d}. de dos o más números es el mayor número que divide a todos de manera exacta.
Cálculo del máximo común divisor
1Se descomponen todos los números en factores primos.
2Se toman los factores comunes con menor exponente.
3Se multiplican los factores comunes con menor exponente.
Ejemplo: Hallar el {m. c. d.} de: {72, 108} y {60}.
1Descomponemos los números en factores primos
{\begin{array}{ccccccc}\begin{tabular}{c|c} 72 & 2 \\ 36 & 2 \\ 18 & 2 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & \end{tabular} & & & \begin{tabular}{c|c} 108 & 2 \\ 54 & 2 \\ 27 & 3 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & \end{tabular} & & & \begin{tabular}{c|c} 60 & 2 \\ 30 & 2 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & \\ & \end{tabular} \end{array}}
Así, los números se escriben de la forma
{\begin{array}{rcl} 72 & = & 2^3 \cdot 3^2 \\\\ 108 & = & 2^2 \cdot 3^3 \\\\ 60 & = & 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \end{array}}
2Los factores comunes con menor exponente son {2^2, 3}
3Para calcular el {m.c.d.} multiplicamos los factores comunes con menor exponente
{m.c.d.(72, 108, 60) = 2^2 \cdot 3 = 12}
Hay que notar que si un número es divisor de otro, entonces éste es el {m.c.d.} de ambos
Ejemplo: El número {12} es divisor de {36}, por lo que {m.c.d.(12, 36) = 12}
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Mínimo común múltiplo
El mínimo común múltiplo {m.c.m.} es el menor de todos múltiplos comunes a varios números, excluido el cero.
Cálculo del mínimo común múltiplo
1Se descomponen los números en factores primos.
2Se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente.
3Se multiplican los factores comunes y no comunes con mayor exponente.
Ejemplo: Hallar el {m. c. m.} de: {72, 108} y {60}.
1Descomponemos los números en factores primos
{\begin{array}{ccccccc}\begin{tabular}{c|c} 72 & 2 \\ 36 & 2 \\ 18 & 2 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & \end{tabular} & & & \begin{tabular}{c|c} 108 & 2 \\ 54 & 2 \\ 27 & 3 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & \end{tabular} & & & \begin{tabular}{c|c} 60 & 2 \\ 30 & 2 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & \\ & \end{tabular} \end{array}}
Así, los números se escriben de la forma
{\begin{array}{rcl} 72 & = & 2^3 \cdot 3^2 \\\\ 108 & = & 2^2 \cdot 3^3 \\\\ 60 & = & 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \end{array}}
2Los factores comunes y no comunes con mayor exponente son {2^3, 3^3, 5}
3Para calcular el {m.c.m.} multiplicamos los factores comunes y no comunes con mayor exponente
{m.c.m.(72, 108, 60) = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5 = 1 080}
Así, {1,080} es el menor número que puede ser dividido por {72, 108} y {60}.
Hay que notar que si un número es múltiplo de otro, entonces éste es el {m.c.m.} de ambos
Ejemplo: El número {36} es múltplo de {12}, por lo que {m.c.m.(12, 36) = 36}
Relación entre el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo
Dado que el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo están formados por el producto de los factores comunes con menor exponente y el producto de los factores comunes y no comunes con mayor exponente, respectivamente, entonces
sor de 15.
Ahora deberíamos dividir entre 5 pero como ya lo tenemos como divisor, ya hemos acabado de calcular los divisores de 15.
Por tanto, los divisores de 15 son: 1, 3, 5 y 15.
MINIMO COMUN MULTIPLO :
El mínimo común múltiplo de dos números a y b es el número más pequeño que es múltiplo de a y múltiplo de b.
El mínimo común múltiplo (mcm) es el número positivo más pequeño que es múltiplo de dos o más números.
Para entender mejor esta definición vamos a ver todos los términos.
Múltiplo
Los múltiplos de un número son los que obtienes cuando lo multiplicas por otros números.
Vamos a ver un ejemplo de los múltiplos de 2 y de 3. Para calcular sus múltiplos hay que ir multiplicando el 2 y el 3 por 1, por 2, por 3, etc.
2 x 1 = 2
2 x 2 = 4
2 x 3 = 6
2 x 4 = 8
3 x 1 = 3
3 x 2 = 6
3 x 3 = 9
3 x 4 = 12
y así sucesivamente hasta infinitos números.
pueden utilizar dos métodos.
El primer método para calcular el mcm es el que hemos utilizado antes, es decir, escribimos los primeros múltiplos de cada número, señalamos los múltiplos que sean comunes y elegimos el múltiplo común más pequeño.
Ahora vamos a explicar el segundo método para calcular el mcm. Lo primero que hay que hacer es descomponer en factores primos cada número. Después tendremos que elegir los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente y por último, tendremos que multiplicar los factores elegidos.
Vamos a ver un ejemplo de esto, calculando el mcm de 12 y de 8.
mínimo común múltiplo de 12 y 8
Vamos a descomponer 12 y 8 en factores primos:
12 = 22 x 3
8 = 23
Ahora elegimos los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente, por lo tanto elegimos 23 y el 3.
Y por último los multiplicamos, por lo tanto 23 x 3 = 8 x 3 = 24
Así que el mcm ( 12 , 8 ) = 24
Vídeo mínimo común múltiplo
Para repasar el contenido de este post, te recomiendo que veas este vídeo tutorial sobre el mínimo común múltiplo.
Maximo comun divisor
n matemáticas, se denomina máximo común divisor o MCD al mayor número que divide exactamente a dos o más números a la vez. Como hablamos del mayor número solo tendremos en cuenta los divisores positivos.
También podemos decir que el máximo común divisor de dos números “A” y “B”, es el número mayor que los divide a los dos, tanto al número A como al número B.
Por ejemplo diremos que el máximo común divisor de 18 y 24 es 6, porque 6 es el mayor de los divisores comunes de 18 y 24 y lo escribimos MCD (18,24) = 6
Se tienen en cuenta los números en los que las divisiones den de resto cero. Puedes repasar las divisiones por una cifra si lo prefieres para ayudarte a recordar las partes que componen una división.
na de las utilidades que tiene el máximo común divisor es simplificar fracciones.
Por ejemplo, para simplificar la fracción 12/18, se calcula primero el Máximo Común Divisor de 12 y 18 que es 6.
Después tenemos que dividir el numerador y el denominador de la fracción inicial entre 6 para obtener la fracción simplificada que es 2/3.
MCD para calcular el mínimo común múltiplo (mcm)
El máximo común divisor también se puede utilizar para calcular el mínimo común múltiplo de dos números, su mcm.
Esto es porque el producto del máximo común divisor de dos números por el mínimo común múltiplo (de los mismos números) es igual al producto de esos dos números.
Veámoslo con un ejemplo. Como hemos dicho antes MCD (12,18) = 6 como 12 × 18 = 216, su mínimo común múltiplo tiene que ser 36 porque 6 × 36 = 216.
MCD para resolver problemas
Sin duda, para lo que más vas a utilizar el MCD es para resolver problemas.
Términos
Ahora, vamos a explicar algunos de los conceptos que se emplean para calcular el MCD de varios números, es importante aprenderlos para que nos sean familiares y sepamos en cada momento de lo que estamos hablando.
El divisor de un número es el valor que divide al número en partes exactas, es decir, que el resto sea cero.
Vamos a ver un ejemplo de esto:
Máximo común divisor. Divisores de 15 y de 20
Primero, calculamos los divisores de 15:
15 / 1 = 15, por lo que 1 y 15 son divisores de 15.
15 / 2 = 7, el resto es 1, por lo que 2 no es divisor de 15.
15 / 3 = 5, por lo que 3 y 5 son divisores de 15.
15 / 4 = 3, el resto es 3, por lo que 4 no es diviTambién vamos a calcular los divisores de 20:
20 / 1 = 20, por lo que 1 y 20 son divisores de 20.
20 / 2 = 10, por lo que 2 y 10 son divisores de 20.
20 / 3 = 6, el resto es 2, por lo que 3 no es un divisor de 20.
20 / 4 = 5, por lo que 4 y 5 son divisores de 20.
Ahora deberíamos dividir entre 5 pero como ya lo tenemos como divisor, ya hemos acabado de calcular los divisores de 20.
Es decir, los divisores de 20 son: 1, 2, 4, 5, 10 y 20.
