Question

Necesito que alguien me resuelva esta ecuación diferencial según el método de Lagrange: y=2xy' + y'^2

Answer 1

haciendo y' = p

$y= 2xp+p^2\\ \\ y'=2p+2xp'+2pp'\\ \\ p=2p+2xp'+2pp'\\ \\ 2p'(x+p)+p=0\\ \\ \dfrac{2x}{p}+2+x_p'=0\\ \\ \\ x'_p+\dfrac{2}{p}x+2=0\\ \\ \\ x'_pp^2+2px+2p^2=0\\ \\ \\ \dfrac{d}{dp}(xp^2)=-2p^2\\ \\ \\ xp^2=-\dfrac{2}{3}p^3+C_1$

$x=-\dfrac{2}{3}p+\dfrac{C_1}{p^2}\\ \\ \text{Se puede despejar a }p\text{ en t\'eminos de }x\\ \\ p^3+\dfrac{3}{2}xp^2-\dfrac{3}{2}C_1=0\\ \\ \\ \text{utilizando la f\'órmula general para resolver polinomios de una sola variable de tercer grado. Luego reemplazar }p=p(x)\text { en }\\ \\ y=2xp+p^2$