el minimo comun multiplo de un conjunto de numeros puede ser mayor que uno de los elementos del conjunto?
Respuestas
Respuesta:En matemáticas, el mínimo común múltiplo (abreviado m.c.m.) de dos o más números naturales es el menor múltiplo común de todos ellos (o el ínfimo del conjunto de los múltiplos comunes). Este concepto ha estado ligado históricamente con números naturales, pero se puede usar para enteros negativos o Número complejo.
Explicación paso a paso:Partiendo de dos o más números y por descomposición en factores primos, expresados como producto de factores primos, su mínimo común múltiplo será el resultado de multiplicar todos los factores comunes y no comunes elevados a la mayor potencia, por ejemplo el mcm de 72 y 50 será
Divisores 50 72.svg
{\displaystyle {\begin{array}{r|l}72&2\\36&2\\18&2\\9&3\\3&3\\1&\end{array}}}{\displaystyle {\begin{array}{r|l}72&2\\36&2\\18&2\\9&3\\3&3\\1&\end{array}}}
{\displaystyle 72=2^{3}\cdot 3^{2}\,}{\displaystyle 72=2^{3}\cdot 3^{2}\,}
{\displaystyle {\begin{array}{r|l}50&2\\25&5\\5&5\\1&\end{array}}}{\displaystyle {\begin{array}{r|l}50&2\\25&5\\5&5\\1&\end{array}}}
{\displaystyle 50=2\cdot 5^{2}\,}{\displaystyle 50=2\cdot 5^{2}\,}
Tomando los factores con su mayor exponente, tenemos que:
{\displaystyle \operatorname {mcm} (72,50)=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}=1800}{\displaystyle \operatorname {mcm} (72,50)=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}=1800}
Conociendo el máximo común divisor de dos números, se puede calcular el mínimo común múltiplo de ellos, que será el producto de ambos dividido entre su máximo común divisor.
{\displaystyle \operatorname {mcm} (a,b)={\frac {a\cdot b}{\operatorname {MCD} (a,b)}}}{\displaystyle \operatorname {mcm} (a,b)={\frac {a\cdot b}{\operatorname {MCD} (a,b)}}}
Propiedades básicas
Si a es un entero, entonces [a, a] = a
Cuando a y b son enteros, [a, b] = b si, solo si b es múltiplo de a.
(a,b) = [a,b] si son iguales u opuestos.
[a, b] = [ab] si, solo si (a,b)= 1
[a/d, b/d] = [m/a, m/b] donde m = mcm y d = mcd.1
[ma,b]= m[a,b] si ([a,b]/a,m) = 12
[a,b,c]= [[a,b], [b,c]]
[a, b, c]|abc, donde abc ≠ 0
[a,b,c] = abc (a,b,c)/(a,b)(b,c)(c,d)3
Si el producto de dos números lo dividimos por su máximo común divisor dicho cociente es el mínimo común múltiplo.
A y B que descompuestos en números primos será A=(p1·p2)·p3·p4 y B=(p1·p2)·p5·p6 donde si m.c.d. es (p1·p2) y el producto de A·B=(p1·p2)·p3·p4·(p1·p2)·p5·p6 donde vemos que (p1·p2) está repetido dos veces, luego si dividimos ese total por (p1·p2) tendremos el total menor que contiene a A y B siendo su mcm
El mínimo común múltiplo de dos números, donde el menor divide al mayor, será el mayor. Es lógico ya que un múltiplo de ambos inferior al mayor sería imposible ya que no sería múltiplo del mayor.
El mínimo común múltiplo de dos números primos es el total de su multiplicación. Esto es lógico ya que su máximo común divisor es 1.
El mínimo común múltiplo de dos números compuestos será igual al cociente entre su producto y el m.c.d de ellos. Es evidente según la propiedad 1 de este tema.
El máximo común divisor de varios números es un divisor del mínimo común múltiplo de tales números.4
Sea mZ el conjunto de los múltiplos del entero m, nZ el del entero n. Entonces el conjunto nZ∩mZ está formado por los múltiplos comunes de m y n; en otra notación es el conjunto [m,n]Z.5