una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba.Cuando ha alcanzado una altura de 100m,su rapidez es de 40m/seg.CALCULAR en que tiempo alcanzo la altura maxima (usar g= 10m/seg²)
Respuestas
Alcanzó la altura máxima a los 10 segundos.
Para hallarlo, sabemos que estamos hablando de un lanzamiento vertical, que es un tipo de movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.)
La ecuación de la velocidad (v) en un lanzamiento vertical hacia arriba es:
v = v0 - g·t
siendo
-v0 la velocidad inicial,
-t el tiempo que está en movimiento el objeto.
Sabemos por el enunciado que:
-velocidad a los 100 m es 40 m/s,
-gravedad (g) es -10 m/s²
por tanto, sustituyendo los valores conocidos en la ecuación, resulta:
40 = v0 - 10t
v0 = 40 + 10t
La ecuación del espacio recorrido (s) en un lanzamiento vertical hacia arriba es:
s = s0 - v0·t - gt²/2
siendo
-s la altura alcanzada por el objeto,
-s0 la altura inicial (que en nuestro caso es cero, puesto que no se especifica en la tarea)
por tanto, tomando s = 100 m y sustituyendo los valores conocidos en la ecuación, resulta:
100 = v0·t - 10t²/2
v0·t = 100 + 10t²/2
v0 = 100/t + 10t²/2t
v0 = 100/t + 10t/2
Contamos con dos expresiones de v0:
v0 = 40 + 10t
v0 = 100/t + 10t/2
Igualando ambos valores de v0, resulta:
40 + 10t = 100/t + 10t/2
80 + 20t = 200/t + 10t
80t + 20t² = 200 + 10t²
20t² - 10t² + 80t - 200 = 0
10t² + 80t - 200 = 0
t² + 8t - 20 = 0
Es una ecuación de segundo grado que resolvemos con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado, cuyos posibles resultados son:
t = 2 y t = -10
Como no tiene sentido en nuestra tarea un tiempo negativo, nos quedamos con t=2. Esto significa que a los 2 segundos de lanzar la pelota está a 100 metros con una velocidad de 40 m/s.
Volvemos a utilizar la ecuación de la velocidad (v) en un lanzamiento vertical hacia arriba: v = v0 - g·t
Ya sabiendo que v = 100 m/s y que t = 2 s puedo conocer la velocidad inicial v0 a la que fue lanzado:
100 = v0 - 10·2
v0 = 100 + 20 = 120 m/s
La altura máxima del objeto se alcanza cuando v = 0 (justo cuando el objeto cesa su subida y comienza después a caer) por tanto, volviendo a aplicar la misma ecuación y sustituyendo los valores conocidos:
0 = 120 - 10·t
10t = 120
t = 120/10
t = 10