En una caja hay 6 bolas blancas y 12 bolas rojas. Se lanza un dado una vez y se extraen tantas bolas rojas como indique el resultado de la tirada. Posteriormente se extrae al azar una de las bolas restantes. 1 ¿Cuál es la probabilidad de que la última bola extraída sea blanca? 2 Si esta bola extraída es blanca, ¿cuál es la probabilidad de que hubiera salido un seis en la tirada del dado?
Respuestas
Hay una probabilidad de 59219/123760 de que la última bola extraída sea blanca y de 30940/177657 de que se hubiera obtenido un 6 en la tirada del dado, dado que salió una bola blanca.
Explicación paso a paso:
El problema plantea dos eventos, la tirada del dado y la extracción de una bola. Estos eventos son independientes en cuanto a la extracción en sí, pero el espacio muestral del segundo evento cambia de acuerdo al resultado del primer evento.
En el primer evento, el lanzamiento del dado, el espacio muestral consiste de 6 resultados posibles e igualmente probables; es decir, es un espacio muestral equiprobable.
En el segundo evento, la extracción de una bola, el espacio muestral cambia en función de la cantidad de bolas que se han retirado, dado el resultado del lanzamiento del dado.
La probabilidad de obtener una bola de un color viene dada por el producto de las probabilidades del resultado del dado y el resultado de la extracción de la bola en el contexto dado; es decir:
Sale un 1 en el dado, probabilidad 1/6, entonces quedan 6 bolas blancas y 11 rojas y las probabilidades son: 6/17 de bola blanca y 11/17 de bola roja.
Sale un 2 en el dado, probabilidad 1/6, entonces quedan 6 bolas blancas y 10 rojas y las probabilidades son: 6/16 de bola blanca y 10/16 de bola roja.
Sale un 3 en el dado, probabilidad 1/6, entonces quedan 6 bolas blancas y 9 rojas y las probabilidades son: 6/15 de bola blanca y 9/15 de bola roja.
Sale un 4 en el dado, probabilidad 1/6, entonces quedan 6 bolas blancas y 8 rojas y las probabilidades son: 6/14 de bola blanca y 8/14 de bola roja.
Sale un 5 en el dado, probabilidad 1/6, entonces quedan 6 bolas blancas y 7 rojas y las probabilidades son: 6/13 de bola blanca y 7/13 de bola roja.
Sale un 6 en el dado, probabilidad 1/6, entonces quedan 6 bolas blancas y 6 rojas y las probabilidades son: 6/12 de bola blanca y 6/12 de bola roja.
1. ¿Cuál es la probabilidad de que la última bola extraída sea blanca?
Antes se mencionó que hay 6 formas diferentes de obtener una bola blanca, pero todas son excluyentes entre si; ya que el resultado del dado lleva el segundo evento a una sola opción de espacio muestral. Por lo tanto, la probabilidad de obtener una bola blanca es la suma de las probabilidades de cada una de las opciones:
P(bola blanca) = (1/6)(6/17) + (1/6)(6/16) + (1/6)(6/15) + (1/6)(6/14) + (1/6)(6/13) + (1/6)(6/12) = 59219/123760
Hay una probabilidad de 59219/123760 de que la última bola extraída sea blanca.
2. Si esta bola extraída es blanca, ¿cuál es la probabilidad de que hubiera salido un seis en la tirada del dado?
Esta es una probabilidad condicional, ya que se quiere la probabilidad de ocurrencia del evento A(salió un 6 en la tirada del dado) dado que el evento B (sale una bola blanca) ya ocurrió.
Se calcula por la fórmula:
P(A|B) = P(B∩A)/P(B)
P(B∩A) = Probabilidad que salió un 6 y una bola blanca
P(B) = Probabilidad que la bola extraída es blanca (calculada en 1.)
P(A|B) = [(1/6)(6/12)]/[59219/123760] = 30940/ 177657
Hay una probabilidad de 30940/177657 de que se hubiera obtenido un 6 en la tirada del dado, dado que salió una bola blanca.