Question

Una caja contiene 5 canicas verdes, 2 azules y 3 rojas. Si escogemos dos canicas al azar (una primero y luego la otra) de esta caja, halle la probabilidad de que ninguna de ellas sea roja:
a. Con remplazo (echando a la caja la primera canica antes de la segunda elección)
b. Sin remplazo (la primera canica queda fuera de la caja para la segunda selección)
¿Son los eventos independientes o dependientes?

Answer 1

Veamos, Tenemos un total de 10 canicas, por tanto, el número de casos posibles para una extracción es n(Ω)= 10.

a) Si denotamos el evento A como el que ocurre al realizar una extracción y que la bola NO sea roja, tenemos entonces n(A) = 5 verdes+2 azules = 7 casos favorables para este evento. Por tanto, la probabilidad de realizar una extracción y que la bola NO sea roja es de:

$P(A) = \dfrac{Casos\; Favorables}{Casos\; Posibles} = \dfrac{n(A)}{n(\varOmega)} = \dfrac{7}{10} = 0.7$

Si realizamos otra extracción B devolviendo la primera canica a la urna, seguimos teniendo la misma cantidad de canicas y la misma cantidad de casos favorables de extraer una bola que no sea roja. Por tanto, este evento tiene justamente la misma probabilidad de A, y decimos que P(B) = 0.7. Son eventos independientes. La probabilidad de que uno de ellos ocurra no está influida por la probabilidad del otro.

La probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes es simplemente el producto de sus probabilidades, por tanto, la probabilidad de escoger con remplazo dos canicas al azar y que ninguna sea roja es de:

$P(A \cap B) = P(A)P(B) = 0.7\cdot 0.7 = 0.49$

R/ La probabilidad de escoger con remplazo dos canicas al azar y que ninguna sea roja es de 0.49.

Supongamos ahora que se extrajo una bola no roja, es decir, ocurrió el evento A con probabilidad de 0.7. Ahora quedan en la caja un total de 9 bolas de las cuales 6 no son rojas. Por tanto, la probabilidad de que se extraiga una bola no roja dado que ya se extrajo una que no era roja es de:

$P(B|A) = \dfrac{Casos\; Favorables}{Casos\; Posibles} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$

Los eventos NO son independientes, la probabilidad de B depende de A por eso escribimos P(B|A). La probabilidad entonces de escoger sin remplazo dos canicas al azar y que ninguna sea roja es de:

$P(A \cap B) = P(A)P(B|A) = \dfrac{7}{10}\cdot \dfrac{2}{3} =\dfrac{14}{30} = \dfrac{7}{15} \approx 0.46667$

R/ La probabilidad de escoger sin remplazo dos canicas al azar y que ninguna sea roja es de aproximadamente 0.46667.