Una jugadora de voleibol realiza un pase a su compañera, el balón fue lanzado verticalmente para tener tiempo a reubicarse, de acuerdo a los especialistas, el balón subió de acuerdo a la función y= f(t), en donde f(t) = 18 − 4.92, siendo t el tiempo en segundos y y= f(t) la altura en metros.
a) Haz una gráfica de función en el intervalo que va de cero a cinco segundos.
b) ¿En qué tiempo alcanza la altura máxima?
c) ¿A qué altura se encuentra a los 2 segundos?
d) ¿En qué tiempo regresa al punto de partida?
Respuestas
Dada la función de la trayectoria recorrida por el balón tenemos que la altura máxima es 16,53 metros, a los 2 segundos se encuentra en una altura de 16,4 metros y regresa al punto de partida luego de trascurrido 3.67 segundos
a) En la imagen adjunta podemos observar la gráfica de la función
f(t) = 18t - 4.9t²
b) f(t) representa la altura en metros, entonces para encontrar la máxima altura derivamos la función e igualamos a cero
f'(t) = 18 - 9.8t = 0
9.8t = 18
t = 18/9.8 = 1,84 segundos
f(1.84 s) = 18*1.84-4.9*(1.84)²
f(1.84 s) = 16,53 metros
Calculamos la segunda derivada para comprobar que es un máximo:
f''(t) = -9.8 < 0 es un máximo.
c) Altura a los 2 segundos: es igual a f(2)
f(2) = 18*2 - 4.9*(2)² = 36 - 19.6 = 16.4
d) el tiempo en que regresa al punto de partida: es cuando f(t) es cero y t es distinto de cero
18*t - 4.9*t² = 0
t*(18 - 4.9t) = 0
Como t ≠ 0:
18 - 4.9*t = 0
18 = 4.9t
t = 18/4.9 = 3.67 segundos (es el doble del tiempo máximo, da un poco menor por el error de redondeo)
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Una jugadora de voleibol realiza un pase a su compañera, la trayectoria del balón nos da resultados que alcanza una altura máxima es 16,53 metros, en 2 segundos alcanzará una altura de 16,4 metros y finalmente regresa al punto de partida en 3.67 segundos.
El problema tiene un error al momento de escribir la función, ya que la manera correcta es f(t) = 18t − 4.9t².
Respondiendo las preguntas.
a) Haz una gráfica de función en el intervalo que va de cero a cinco segundos.
La gráfica es la adjuntada. Podemos notar que nos encontramos frente a una función cuadrática, o también conocida como función de segundo grado, por lo tanto al momento de graficar notamos que estamos en presencia de una parábola.
El término cuadrático es negativo, por lo tanto la función es cóncava. Se sabe que esta es lo contrario a una función convexa.
Matemáticamente, una función es cóncava si su segunda derivada es menor que 0.
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b) ¿En qué tiempo alcanza la altura máxima?
La función f(t) representa la altura, la cual está en metros. Debemos derivar e igualar a cero (0) para poder hallar el valor de la altura máxima en un tiempo determinado.
f(t) = 18t − 4.9t²
f'(t) = 18 - 2*(4.9)t
f'(t) = 18 - 9.8t
Igualando a cero:
0 = 18 - 9.8t
9.8t = 18
t = 18/9.8
t = 1,84
Ahora sustituimos en la función principal:
f(1.84) = 18*(1.84) - (4.9)*(1.84)²
f(1.84) = 33.12 - (4.9)*(3,3856)
f(1.84) = 33.12 - 16,59
f(1.84 s) = 16,53
Concluimos que alcanza una altura máxima es 16,53 metros.
Para comprobar que es un máximo, lo que haremos será calcular la segunda derivada.
f(t) = 18t − 4.9t²
f'(t) = 18 - 2*(4.9)t
f'(t) = 18 - 9.8t
f''(t) = -9.8
Como f''(t) < 0 entonces si es un máximo.
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c) ¿A qué altura se encuentra a los 2 segundos?
Para saber el resultado del problema, lo que debemos hacer es sustituir los dos segundos en la función principal.
f(2) = 18*(2) - 4.9*(2)²
f(2) = 18*(2) - 4.9*(4)
f(2) = 36 - 19.6
f(2) = 16.4
Concluimos que en 2 segundos, alcanzará una altura de 16.4 metros.
Podemos también corroborarlo con la gráfica, nos ubicamos en x = 2, que sería el tiempo, y vemos cuanto es el valor en Y, esto sería la altura alcanzada.
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d) ¿En qué tiempo regresa al punto de partida?
Cuando hallamos el tiempo que regresa al punto de partida, la función f(t) la debemos igualar a cero, y el tiempo t debe ser distinto de cero.
18t - 4.9t² = 0
Sacamos factor común t:
t(18 - 4.9t) = 0
Recordemos que t es distinto de cero (t ≠ 0), entonces:
18 - 4.9t = 0
4.9t = 18
t = 18/4.9
t = 3.67
Podemos concluir que el balón de voleibol regresará al punto de partida en un tiempo de 3.67 segundos.
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