En una fábrica de frutas en conserva se estudia disponer de un nuevo formato: un envase cilíndrico con capacidad
de 1000 cm3
. La primera propuesta consiste en un envase de 10 cm de altura; la segunda, en uno cuya altura
sea igual al doble de su radio. ¿Cuál de los envases es más angosto?
Respuestas
Respuesta:
Es un poquito largo pero creo que me voy a explicar bien:
La fórmula del volumen de un cilindro es :V = π . r² . h
Definiendo:
r es el radio de la base.
h es la altura del cilindro.
El área A = 2 π r² + 2 π r h
Sustituyendo la capacidad requerida de 1 litro en la fórmula del volumen obtenemos: 1000 cm³ = π r² h
h = 1000/π r² . . . . . . . . . .(1)
Valor que reemplazado en la ecuación del área nos deja
A = 2 π r² + 2 π r . 1000/ π r²
A = 2 π r² + 2.000/r
Debemos Derivar en función de r para hallar el punto crítico, obtenemos:
A´(r) = 4π r - 2000/r²
Igualando a cero queda
4π r - 2000/r² = 0
4π r³ = 2000
r³ = 2000/4π
r³ = 159,154976 . . . . . . . . .(2)
r = (159,154976) ^ 1/2
r = 5,419261
Reemplazado el valor de (2) en la ecuación (1) nos da
h = 1000/(3,141592 . 5,419261)
h = 10,83852
Volviendo a derivar la ecuación del área nos queda
A"(r) = 4π + (2000 . 2r)/r³
que al ser positiva nos indica que el valor hallado con la primera derivada es un mínimo, luego se tiene
Respuesta: Las dimensiones del cilindro de área mínima son de un radio de 5,42 cm y una altura de 10,84 cm.
Explicación paso a paso:
corona ♥️ PLIS gracias por los puntos ❤️