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Los griegos utilizaron reglas parecidas a las que usamos actualmente para realizar operaciones aritméticas con magnitudes negativas en sus demostraciones geométricas. Los árabes no usaron los números negativos y los consideraban como restas indicadas
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A continuación, se da una brevísima historia sobre los números reales, pero antes de esto es necesario describir algunos conceptos. Primero el proceso de medir consiste en comparar dos magnitudes, una, lo que hoy se conoce como patrón de medida, con otra, que es lo que se quiere medir. Una magnitud conmensurable es aquella que se puede medir y además su medida se puede escribir como factor de la unidad de medida. Una magnitud inconmensurable es lo opuesto a conmensurable, es decir su medida no se puede expresar como factor de una unidad de medida. Los griegos, y en particular la escuela pitagórica, consideraba que todos los fenómenos del universo se podían reducir a números o razones entre ellos, es decir, que todo es conmensurable. Pero uno de ellos, Hippasus de Metapontum, descubrió una magnitud inconmensurable, la diagonal de un cuadrado de lado 1, por esto se dice que fue arrojado al mar, ya que dicho descubrimiento echaba por tierra todo lo que los pitagóricos creían. El pensamiento griego se mantuvo casi intacto por más de un millar de años y la geometría era la base sobre la cual se construían las matemáticas. Pero en el renacimiento, algunos matemáticos objetaban el uso de los números irracionales de manera descuidada, ya que carecían de rigor y fundamentación lógica. Matemáticos de la talla de Euler demostraron que algunos números eran irracionales, pero es hasta el siglo XIX que varios matemáticos se dan a la tarea de hacer una construcción formal para los números reales. Entre estos se destacan Cauchy, Weiestrass, Cantor y Dedekind, entre otros. Empezando el siglo XX Hilbert considera que las construcciones dadas en el siglo pasado, las cuales se basan en los racionales, son valiosas pedagógicamente hablando, pero considera que su método debe prevalecer. Por tanto propone su propia construcción, la cual se conoce como método axiomático.
Explicación paso a paso: