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Explicación paso a paso:
Una vez sabemos qué resultado puede tener el límite de una función cuando x tiende a infinito y qué forma pueden tener sus gráficas, voy a pasar a explicarte cómo calcular este tipo de límites.
A priori, no sabemos que resultado va a tener el límite de una función cuando x tiende a infinito. Lo sabemos cuando sustituimos la x por infinito.
Vamos a ir viendo cómo se resuelven los límites de cada tipo de función.
Límite de funciones polinómicas cuando x tiende a infinito
Por ejemplo:
limite de e^x cuando x tiende a infinito
En primer lugar, sustituimos la x por infinito:
limite de una funcion cuando x tiende a infinito
Cuando resolvemos límites de este tipo, al sustituir por infinito, debemos tener en cuenta que el infinito de por sí ya tiene un valor muy grande. Si el infinito lo elevamos a algún exponente, todavía se hace más grande.
Entonces infinito elevado al cubo es muchísimo mayor que infinito elevado al cuadrado, incluso que el resto de operación que queda.
Para que lo entiendas mejor, imagina que estás calculando con un número muy muy grande y lo elevas al cubo. Si le restas el mismo número elevado al cuadrado, quedará todavía un número muy grande.
Pues este mismo concepto pero llevado hasta el extremo es lo que pasa cuando operamos con infinito, como es este caso. El valor de infinito al cubo es mucho mayor que el resto de la operación, de hecho, el resto de la operación ya da igual, porque es es despreciable y apenas le afecta.
Por tanto, el resultado del límite será infinito:
limites cuando tienden a infinito
En los polinomios, el resultado de sustituir por infinito lo dará siempre el término de mayor grado.
De hecho, el límite de una función polinómica cuando x tiende a infinito, es igual al límite de su término de mayor grado, por lo para calcular su solución es equivalente a calcular el límite del término de mayor grado:
limites al infinito propiedades
Vamos a ver otro ejemplo:
como resolver limites al infinito
Como te he comentado antes, calcular el límite de un polinomio cuando x tiende a infinito es equivalente a calcular el límite del término de mayor grado, por lo que lo hacemos así:
limites cuando tiende a infinito
Sustituimos la x por infinito:
ejercicios de limites cuando x tiende a infinito
Por un lado, infinito a elevado a 4 sigue siendo infinito, un infinito mucho más grande que antes, pero como está solo, podemos seguir poniendo infinito.
Por otro lado, las operaciones con infinito responden a las reglas de signos. Por tanto, al multiplicar infinito por un número negativo, el resultado es menos infinito, que es el resultado del límite:
limite cuando tiende a infinito
Vamos a ver ahora como resolver el límite de una función, donde el polinomio se encuentra en el denominador:
limites al infinito negativo
Siguiendo el mismo razonamiento que para los ejercicios anteriores, nos quedamos con el término de mayor grado en el denominador:
limites en el infinito
Ahora sustituimos la x por infinito. El resultado en el denominador es infinito y cualquier número entre infinito es igual a cero:
limite que tiende a infinito
En general, los límites cuando x tiende a infinito de las funciones que tengan un número en el numerador y un polinomio en el denominador, su resultado será 0.
Seguimos con el límite de una función logarítmica:
limites al menos infinito
Sustituimos la x por infinito. El valor de la función logarítmica es mayor cuanto mayor sea el valor de x, por lo que el logaritmo de infinito es infinito:
limite x tiende a infinito
Si la función logarítmica tiene un signo menos delante, el resultado sería menos infinito:
ejemplos de limites infinitos
limites cuando x tiende al infinito
Por último, vamos a ver qué pasa con las funciones racionales, donde el grado del numerador y el grado del denominador son iguales, cuando x tiende a infinito:
lim x tiende a infinito
Al sustituir la x por infinito llegamos a una indeterminación:
limite menos infinito
La forma de resolver este límite te lo explico en el Curso de Límites cuando explico los tipos de indeterminaciones y cómo se resuelven.
