Question

Dos autos A y B se mueven con Velocidades VA y VB sobre un camino recto y en el mismo sentido. Cuando el auto A se encuentra a una distancia d, detrás de B se aplican los frenos de A, causando una desaceleracion constante "a". Demostrar que para que no se produzca un choque entre A y B es necesario que se cumpla la siguiente condición:

(VA - VB)² < 2ad

Answer 1

Hola, aquí va la respuesta

           Encuentro entre 2 móviles

Analicemos las funciones de posición de ambos móviles.

Como "A" aplica los frenos a una distancia "d" detrás de B, causa una desaceleracion constante, por lo cual nos da indicio de que el movil A se mueve con MRUV

Su función de posición será:

$X(t)_{A} = V_{A}*t-\frac{1}{2}*a*t^{2}$

Mientras que el móvil "B" sigue con su velocidad, solo que se encuentra una distancia un poco mayor que del móvil "A", este se mueve con MRU

La función de posición es:

$X(t)_{B} =V_{B}*t+d$

Para que ambos móviles choquen, debe ocurrir que:

$X(t)_{A}=X(t)_{B}$

Entonces:

$V_{A} *t-\frac{1}{2} *a*t^{2} =V_{B}*t+d$

$V_{A}*t-\frac{1}{2} *a*t^{2} -V_{B} *t+d=0$

$(V_{A} -V_{B})*t-\frac{1}{2}*a*t^{2}+d=0$

Para que no haya encuentro entre los móviles, es decir para que no se choquen, debe ocurrir que:

Δ < 0

Ya que si esto ocurre, obtendremos un t < 0 y eso no es posible

Recordando la formula del discriminante

                Δ= b² -4ac

Reemplazando:

$(V_{A} -V_{B})^{2} -4*\frac{1}{2}*a*d<0$

$(V_{A}-V_{B})^{2} -2ad<0$

$(V_{A}-V_{B})^{2} < 2ad$    

Saludoss