Question

Hallar la siguiente suma
$\frac{1}{n(n + 1)} + \frac{1}{(n + 1)(n + 2)} + \frac{1}{(n + 2)(n + 3)} +... + \frac{1}{(n + k - 1)(n + k)}$
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Answer 1

Respuesta:

• Por lógica, cada fracción se puede escribir como:

$\frac{1}{n( n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$

$\frac{1}{(n + 1)(n + 2)} = \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{ n + 2}$

• Entonces:

$e = ( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} ) + ( \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} ) + ( \frac{1}{n + 2} - \frac{1}{n + 3} ) + ... + ( \frac{1}{n + k - 1} - \frac{1}{n + k} )$

$e = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + k} = \frac{n + k - n}{n(n + k)}$

• Finalmente:

$e = \frac{k}{n(n + k)}$

saludos.