Question

Si se apoya una escalera de 5 m de longitud sobre una pared, formando un ángulo de 40º¿a qué altura se llega con la escalera? ¿Cuánto se separa el pie de la escalera de la pared?

Answer 1

Se llega a una altura de aproximadamente 3,83 metros con la escalera

El pie de la escalera se separa de la pared aproximadamente 3,214 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Solución

Sabemos que tenemos una escalera apoyada contra una pared en donde formando un ángulo de 40°, en donde conocemos la longitud o el largo de la escalera

Donde

Se pide determinar a que altura sobre la pared se llega con dicha escalera

Se quiere encontrar a que distancia se separa el pie de esa escalera de la pared.

Representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC en donde el lado AC - la hipotenusa- representa la longitud de la escalera, el lado AB simula la pared en donde la escalera se apoya formando un ángulo de 40° con ésta, y por último el lado BC que equivale a al separación del pie de la escalera hasta la pared- esto último sobre el suelo-

Hallamos hasta que altura se alcanza con la escalera

Sabemos que la escalera apoyada contra la pared forma un ángulo de 40° con dicha pared. Y en donde conocemos la longitud de la escalera - la cual es la hipotenusa del triángulo rectángulo

Luego la altura hasta donde alcanza la escalera resulta ser el cateto adyacente al ángulo de 40° dado por enunciado

Luego allí estamos en condiciones de determinar cual es la función o razón trigonométrica que se debe emplear

La razón trigonométrica que relaciona un ángulo dado con el cateto adyacente y la hipotenusa es es coseno del ángulo

El coseno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa

Planteando

$\boxed { \bold { cos(40)^o = \frac{ cateto\ adyacente }{ hipotenusa } }}$

$\boxed { \bold { cos(40)^o = \frac{ altura \ alcance\ pared }{ longitud \ escalera } } }$

$\boxed { \bold { altura \ alcance \ pared= longitud \ escalera \ . \ cos(40)^o }}$

$\boxed { \bold { altura \ alcance \ pared = 5 \ metro s \ . \ 0, 7660444431189 }}$

$\boxed { \bold { altura \ alcance \ pared \approx 3,83022 \ metros }}$

$\large\boxed { \bold { altura \ alcance \ pared \approx 3,83 \ metros }}$

Se llega a una altura de aproximadamente 3,83 metros con la escalera

Hallamos cuanto se separa el pie de la escalera de la pared

La distancia de separación entre el pie de la escalera y la pared que debemos hallar resulta ser el cateto opuesto el ángulo que forma la escalera con la pared de 40°. Luego al conocer la longitud de la escalera, conocemos la hipotenusa

Luego ya estamos en condiciones de determinar cual es la función o razón trigonométrica que se debe emplear

La razón trigonométrica que relaciona un ángulo dado con el cateto opuesto y la hipotenusa es es seno del ángulo

El seno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa

Planteando

$\boxed { \bold { sen(40)^o = \frac{ cateto\ opuesto }{ hipotenusa } }}$

$\boxed { \bold { sen(40)^o = \frac{ pie \ escalera \ a\ pared }{ longitud \ escalera } } }$

$\boxed { \bold { pie \ escalera \ a\ pared = longitud \ escalera \ . \ sen(40)^o }}$

$\boxed { \bold { pie \ escalera \ a\ pared = 5 \ metro s \ . \ 06427876096865}}$

$\boxed { \bold { pie \ escalera \ a\ pared \approx 3,21393 \ metros }}$

$\large\boxed { \bold {pie \ escalera \ a\ pared \approx 3,214 \ metros }}$

El pie de la escalera se separa de la pared aproximadamente 3,214 metros