Demostrar: sec^2(θ) - csc^2(θ) = tan(θ) - cot(θ) / sen(θ) x cos(θ)
F4BI4N:
cot(θ) / sen(θ) x cos(θ), eso es cotθ/(senθ*cosθ) ó (cotθ/senθ)*cosθ quiero asegurarme antes de comenzar jajaja
Respuestas
Respuesta dada por:
10
Hola :),
Del lado derecho vamos a intentar llegar a la igualdad sec^2 θ - csc^2 θ , vamos a dejar todo en senos y cosenos, antes debes saber unas identidades basicas,
tg x = sen x / cos x
cotg x = 1/tg x = cosx/senx
luego de eso, comencemos :) :
![= \frac{tan(\theta) - cot(\theta)}{sen(\theta) \cdot cos (\theta)} \\ \\
=\frac{ \frac{sen(\theta)}{cos(\theta)} - \frac{cos(\theta)}{sen(\theta)} }{sen(\theta) \cdot cos (\theta)} \\ \\
=\frac{ \frac{sen^{2}(\theta) - cos^{2}(\theta)}{sen(\theta) \cdot cos (\theta)} }{sen(\theta) \cdot cos (\theta)} \\ \\
= \frac{sen^{2}(\theta) - cos^{2}(\theta)}{sen^{2}(\theta) \cdot cos^{2} (\theta)} } = \frac{tan(\theta) - cot(\theta)}{sen(\theta) \cdot cos (\theta)} \\ \\
=\frac{ \frac{sen(\theta)}{cos(\theta)} - \frac{cos(\theta)}{sen(\theta)} }{sen(\theta) \cdot cos (\theta)} \\ \\
=\frac{ \frac{sen^{2}(\theta) - cos^{2}(\theta)}{sen(\theta) \cdot cos (\theta)} }{sen(\theta) \cdot cos (\theta)} \\ \\
= \frac{sen^{2}(\theta) - cos^{2}(\theta)}{sen^{2}(\theta) \cdot cos^{2} (\theta)} }](https://tex.z-dn.net/?f=%3D+%5Cfrac%7Btan%28%5Ctheta%29+-+cot%28%5Ctheta%29%7D%7Bsen%28%5Ctheta%29+%5Ccdot+cos+%28%5Ctheta%29%7D+%5C%5C+%5C%5C%0A+%3D%5Cfrac%7B+%5Cfrac%7Bsen%28%5Ctheta%29%7D%7Bcos%28%5Ctheta%29%7D+-++%5Cfrac%7Bcos%28%5Ctheta%29%7D%7Bsen%28%5Ctheta%29%7D++%7D%7Bsen%28%5Ctheta%29+%5Ccdot+cos+%28%5Ctheta%29%7D+%5C%5C+%5C%5C%0A+%3D%5Cfrac%7B+%5Cfrac%7Bsen%5E%7B2%7D%28%5Ctheta%29+-+cos%5E%7B2%7D%28%5Ctheta%29%7D%7Bsen%28%5Ctheta%29+%5Ccdot+cos+%28%5Ctheta%29%7D+%7D%7Bsen%28%5Ctheta%29+%5Ccdot+cos+%28%5Ctheta%29%7D++%5C%5C+%5C%5C%0A%3D+%5Cfrac%7Bsen%5E%7B2%7D%28%5Ctheta%29+-+cos%5E%7B2%7D%28%5Ctheta%29%7D%7Bsen%5E%7B2%7D%28%5Ctheta%29+%5Ccdot+cos%5E%7B2%7D+%28%5Ctheta%29%7D+%7D)
Ahora separemos la fracción y veamos que pasa :o :
![\frac{sen^{2}(\theta) - cos^{2}(\theta)}{sen^{2}(\theta) \cdot cos^{2} (\theta)} } \\ \\=
\frac{sen^{2}(\theta)}{sen^{2}(\theta) \cdot cos^{2}(\theta)} - \frac{cos^{2}(\theta)}{sen^{2}(\theta) \cdot cos^{2}(\theta)} \frac{sen^{2}(\theta) - cos^{2}(\theta)}{sen^{2}(\theta) \cdot cos^{2} (\theta)} } \\ \\=
\frac{sen^{2}(\theta)}{sen^{2}(\theta) \cdot cos^{2}(\theta)} - \frac{cos^{2}(\theta)}{sen^{2}(\theta) \cdot cos^{2}(\theta)}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bsen%5E%7B2%7D%28%5Ctheta%29+-+cos%5E%7B2%7D%28%5Ctheta%29%7D%7Bsen%5E%7B2%7D%28%5Ctheta%29+%5Ccdot+cos%5E%7B2%7D+%28%5Ctheta%29%7D+%7D+%5C%5C+%5C%5C%3D%0A+%5Cfrac%7Bsen%5E%7B2%7D%28%5Ctheta%29%7D%7Bsen%5E%7B2%7D%28%5Ctheta%29+%5Ccdot+cos%5E%7B2%7D%28%5Ctheta%29%7D+-++%5Cfrac%7Bcos%5E%7B2%7D%28%5Ctheta%29%7D%7Bsen%5E%7B2%7D%28%5Ctheta%29+%5Ccdot+cos%5E%7B2%7D%28%5Ctheta%29%7D++)
Simplificando :
![\frac{sen^{2}(\theta)}{sen^{2}(\theta) \cdot cos^{2}(\theta)} - \frac{cos^{2}(\theta)}{sen^{2}(\theta) \cdot cos^{2}(\theta)} \\ \\
= \frac{1}{cos^{2}(\theta)} - \frac{1}{sen^{2}(\theta)} \frac{sen^{2}(\theta)}{sen^{2}(\theta) \cdot cos^{2}(\theta)} - \frac{cos^{2}(\theta)}{sen^{2}(\theta) \cdot cos^{2}(\theta)} \\ \\
= \frac{1}{cos^{2}(\theta)} - \frac{1}{sen^{2}(\theta)}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bsen%5E%7B2%7D%28%5Ctheta%29%7D%7Bsen%5E%7B2%7D%28%5Ctheta%29+%5Ccdot+cos%5E%7B2%7D%28%5Ctheta%29%7D+-++%5Cfrac%7Bcos%5E%7B2%7D%28%5Ctheta%29%7D%7Bsen%5E%7B2%7D%28%5Ctheta%29+%5Ccdot+cos%5E%7B2%7D%28%5Ctheta%29%7D+%5C%5C+%5C%5C%0A%3D++%5Cfrac%7B1%7D%7Bcos%5E%7B2%7D%28%5Ctheta%29%7D+-++%5Cfrac%7B1%7D%7Bsen%5E%7B2%7D%28%5Ctheta%29%7D++)
Eso es equivalente a:
![sec^{2}(\theta) - csc^{2}(\theta) sec^{2}(\theta) - csc^{2}(\theta)](https://tex.z-dn.net/?f=sec%5E%7B2%7D%28%5Ctheta%29+-+csc%5E%7B2%7D%28%5Ctheta%29)
Entonces se cumple la identidad :
![\boxed{sec^{2}(\theta) - csc^{2}(\theta) = \frac{tan(\theta) - cot(\theta)}{sen(\theta) \cdot cos(\theta)} } \boxed{sec^{2}(\theta) - csc^{2}(\theta) = \frac{tan(\theta) - cot(\theta)}{sen(\theta) \cdot cos(\theta)} }](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%7Bsec%5E%7B2%7D%28%5Ctheta%29+-+csc%5E%7B2%7D%28%5Ctheta%29+%3D++%5Cfrac%7Btan%28%5Ctheta%29+-+cot%28%5Ctheta%29%7D%7Bsen%28%5Ctheta%29+%5Ccdot+cos%28%5Ctheta%29%7D+%7D)
Salu2 :).
Del lado derecho vamos a intentar llegar a la igualdad sec^2 θ - csc^2 θ , vamos a dejar todo en senos y cosenos, antes debes saber unas identidades basicas,
tg x = sen x / cos x
cotg x = 1/tg x = cosx/senx
luego de eso, comencemos :) :
Ahora separemos la fracción y veamos que pasa :o :
Simplificando :
Eso es equivalente a:
Entonces se cumple la identidad :
Salu2 :).
Preguntas similares
hace 6 años
hace 6 años
hace 9 años
hace 9 años