Demostrar: 1/1+cosx = csc2x - cscx (cotx) ES URGENTEE!!
dayto30:
Dale, gracias!!
Respuestas
Respuesta dada por:
2
Hola,
Bueno tienes que saber algunas identidades básicas:
csc x = 1/senx
ctg x = cosx/senx
Con esto, ataquemos tu problema, para demostrar eso voy a ir desde el lado derecho de la igualdad y voy a intentar llegar al lado izquierdo que es 1/(1+cosx) :
![csc^{2}x - csc x \cdot cot x \\ \\
\frac{1}{sen^{2}x} - \frac{1}{senx} }\cdot \frac{cosx}{sen x} \\ \\
\frac{1-cosx}{sen^{2}x} csc^{2}x - csc x \cdot cot x \\ \\
\frac{1}{sen^{2}x} - \frac{1}{senx} }\cdot \frac{cosx}{sen x} \\ \\
\frac{1-cosx}{sen^{2}x}](https://tex.z-dn.net/?f=csc%5E%7B2%7Dx+-+csc+x+%5Ccdot+cot+x+%5C%5C+%5C%5C%0A+%5Cfrac%7B1%7D%7Bsen%5E%7B2%7Dx%7D+-+++%5Cfrac%7B1%7D%7Bsenx%7D+%7D%5Ccdot++%5Cfrac%7Bcosx%7D%7Bsen+x%7D+%5C%5C+%5C%5C%0A+%5Cfrac%7B1-cosx%7D%7Bsen%5E%7B2%7Dx%7D+++)
Bueno como tenemos que llegar a algo con un coseno, vamos a reescribir el sen²x en función del seno, sabemos de la identidad trigonométrica :
sen ² x + cos ² x = 1
Despejamos el sen²x
sen²x = 1 - cos²x
Tenemos una expresión para el seno cuadrado, eso lo reemplazamos en lo que teníamos, y nos queda :
![\frac{1-cosx}{sen^{2}x} \\ \\
\frac{1- cosx}{1 - cos^{2}x} \frac{1-cosx}{sen^{2}x} \\ \\
\frac{1- cosx}{1 - cos^{2}x}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1-cosx%7D%7Bsen%5E%7B2%7Dx%7D+%5C%5C+%5C%5C%0A+%5Cfrac%7B1-+cosx%7D%7B1+-+cos%5E%7B2%7Dx%7D+)
Estamos cerca !!. ahora solo falta factorizar el denominador con la suma por su diferencia:
![\frac{1- cosx}{1 - cos^{2}x} \\ \\
= \frac{1-cosx}{(1+cosx)(1-cosx)} \\ \\
Factorizamos: \\ \\
= \frac{1}{1+cosx} \frac{1- cosx}{1 - cos^{2}x} \\ \\
= \frac{1-cosx}{(1+cosx)(1-cosx)} \\ \\
Factorizamos: \\ \\
= \frac{1}{1+cosx}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1-+cosx%7D%7B1+-+cos%5E%7B2%7Dx%7D+%5C%5C+%5C%5C%0A%3D++%5Cfrac%7B1-cosx%7D%7B%281%2Bcosx%29%281-cosx%29%7D+%5C%5C+%5C%5C%0AFactorizamos%3A+%5C%5C+%5C%5C%0A%3D++%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2Bcosx%7D++)
Así queda demostrado que:
![\frac{1}{1+cosx} = csc^{2}x - cscx \cdot cotx \frac{1}{1+cosx} = csc^{2}x - cscx \cdot cotx](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2Bcosx%7D+%3D+csc%5E%7B2%7Dx+-+cscx+%5Ccdot+cotx)
Salu2 :).
Bueno tienes que saber algunas identidades básicas:
csc x = 1/senx
ctg x = cosx/senx
Con esto, ataquemos tu problema, para demostrar eso voy a ir desde el lado derecho de la igualdad y voy a intentar llegar al lado izquierdo que es 1/(1+cosx) :
Bueno como tenemos que llegar a algo con un coseno, vamos a reescribir el sen²x en función del seno, sabemos de la identidad trigonométrica :
sen ² x + cos ² x = 1
Despejamos el sen²x
sen²x = 1 - cos²x
Tenemos una expresión para el seno cuadrado, eso lo reemplazamos en lo que teníamos, y nos queda :
Estamos cerca !!. ahora solo falta factorizar el denominador con la suma por su diferencia:
Así queda demostrado que:
Salu2 :).
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