3. De los siguientes números, ¿cuáles son irracionales?
MATEMÁTICAS 53
1 3 9 12 5 5 2 36 2 3 , , , , , , , , , π e Φ Φ
Respuestas
Respuesta:
Los números irracionales son los elementos de la recta real que cubren los vacíos que dejan los números racionales, ya que muchas sucesiones de racionales tienen como límite un número que no es un número racional.
Los números irracionales son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales no periódicas. Puede definirse al número irracional como una fracción decimal no periódica infinita.4 En general, toda expresión en números decimales es solo una aproximación en números racionales al número irracional referido, y se dice con toda propiedad que el número √2 es aproximadamente igual a 1,4142135 en 7 decimales, o bien es igual a 1,4142135… donde los tres puntos hacen referencia a los decimales que faltan. Debido a ello, los números irracionales más conocidos son identificados mediante símbolos:
{\displaystyle \pi }\pi (Número "pi" 3,14159...): razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.
e (Número "e" 2,7182...): {\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}{\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}
{\displaystyle \Phi }\Phi (Número "áureo" 1,6180...): {\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}{\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
las soluciones reales de x2 - 3 = 0; de x5 -7 = 0; de x3 = 11; 3x = 5; sen 7º, etc4
Los números irracionales se clasifican en dos tipos:
Número algebraico: Son la solución de alguna ecuación algebraica y se representan por un número finito de radicales libres o anidados en algunos casosn. 1; si "x" representa ese número, al eliminar radicales del segundo miembro mediante operaciones inversas, queda una ecuación algebraica de cierto grado. Todas las raíces no exactas de cualquier orden son irracionales algebraicos. Por ejemplo, el número áureo es una de las raíces de la ecuación algebraica {\displaystyle \scriptstyle x^{2}-x-1=0}{\displaystyle \scriptstyle x^{2}-x-1=0}, por lo que es un número irracional algebraico.
Número trascendente: No pueden representarse mediante un número finito de radicales libres o anidadas; provienen de las llamadas funciones trascendentes (trigonométricas, logarítmicas y exponenciales, etc.) También surgen al escribir números decimales no periódicos al azar o con un patrón que no lleva periodo definido, respectivamente, como los dos siguientes:
{\displaystyle \ 0,193650278443757}{\displaystyle \ 0,193650278443757}...
{\displaystyle \ 0,101001000100001}{\displaystyle \ 0,101001000100001}...
Los llamados números trascendentes tienen especial relevancia ya que no pueden ser solución de ninguna ecuación algebraica. Los números pi y e son irracionales trascendentes, puesto que no pueden expresarse mediante radicales.
Los números irracionales no son numerables, es decir, no pueden ponerse en biyección con el conjunto de los números naturales. Por extensión, los números reales tampoco son numerables ya que incluyen el conjunto de los irracionales.