Question

Métodos de integración: Sustitución trigonométrica - Integración producto de seno y coseno para resolverlos. RESOLVER CON SU PROCESO BIEN IDENTIFICADO LOS SIGUIENTE PROBLEMAS.

Nota: Ya añadi el documento en pdf. Y si no es mucha molestia enviar la solución y todo al correo: [email protected] por que mas tengo chance de revisar el correo por el telefono que por la computadora. Gracias de Antemano.

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Answer 1

por sustitucion trigonometrica
1)
$\int \frac{x^2}{\sqrt{25-x^2}}dx...................\:x=5\sin \left(u\right)......dx=5\cos \left(u\right)du$
reemplazando
$=\int \frac{\left(5\sin \left(u\right)\right)^2}{\sqrt{25-\left(5\sin \left(u\right)\right)^2}}5\cos \left(u\right)du$
$=125\int \frac{\sin ^2\left(u\right)\cos \left(u\right)}{\sqrt{25-25\sin ^2\left(u\right)}}du=125\int \frac{\sin ^2\left(u\right)\cos \left(u\right)}{5\sqrt{-\sin ^2\left(u\right)+1}}du$
usamos lapitagorica  para el denominador
$\:1-\sin ^2\left(x\right)=\cos ^2\left(x\right)$
$= \frac{125}{5} \int \frac{\cos \left(u\right)\sin ^2\left(u\right)}{\sqrt{\cos ^2\left(u\right)}}du=25\int \sin ^2\left(u\right)du$
con la identidad 
$\sin ^2\left(x\right)=\frac{1-\cos \left(2x\right)}{2}$
$=25\int \frac{1-\cos \left(2u\right)}{2}du= \frac{25}{2}(\int \:1du-\int \cos \left(2u\right)du)=\frac{25}{2}\left(u-\frac{1}{2}\sin \left(2u\right)\right)$
$x=5sen^2(u).............u=\arcsin \left(\frac{1}{5}x\right)$
$=\frac{25}{2}\left(\arcsin \left(\frac{x}{5}\right)-\frac{1}{2}\sin \left(2\arcsin \left(\frac{x}{5}\right)\right)\right)+k$

2)
$\int \frac{1}{\left(1+x^2\right)^{\frac{3}{2}}}dx...........x=tan(u)....\:dx=\sec ^2\left(u\right)du$
$=\int \frac{1}{\left(1+\tan ^2\left(u\right)\right)^{\frac{3}{2}}}\sec ^2\left(u\right)du=\int \frac{\sec ^2\left(u\right)}{\left(\sec ^2\left(u\right)\right)^{\frac{3}{2}}}du$
$=\int \frac{\sec ^2\left(u\right)}{\sec ^3\left(u\right)}du=\int \frac{1}{\sec \left(u\right)}du=\int \cos \left(u\right)du=sen(u)$
como

$\:u=\arctan \left(x\right)..$
$=\sin \left(\arctan \left(x\right)\right)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}+k$

3)$\int \frac{\sqrt{x^2-9}}{x^4}dx.........x=3\sec \left(u\right) ,,,,dx=3sec(u)tan(u)$

4)$\int \frac{\sqrt{9-x^2}}{x}dx...........\:u=9-x^2......... du=-2xdx$

$\int \frac{\sqrt{u}}{-2}du=\int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{-2}du$
$=\frac{1}{-2}\frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}=-\frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}+C$
$-\frac{\left(9-x^2\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+C$