Question

¿Ayuda con ecuaciones con valor absoluto?Necesito ayuda con un ejercicio, de ecuaciones con valor absoluto:


$\frac{|1-x|}{|2|.|-1|} - \frac{|2-2x|}{|-8|} =1$

En el segundo termino de la resta, el valor absoluto abarca toda la división. Aunque si no me equivoco ponerlo de forma separada resulta igual.

Les agradecería muchísimo su respuesta, dado la proximidad de mi examen. Los valores solución son x= -3 ó x=5. Quisiera entender el desarrollo del ejercicio.

Answer 1

Algunas propiedades de valor absoluto:
p1) | a |= a y | -a | =a
p2) | a*b |=| a | * | b |
p3) | a |² = a²

Empezamos a desarrollar el ejercicio:
$\frac{|1-x|}{|2|*|-1|} - \frac{|2-2x|}{|-8|} =1$

Resolvemos los valores absolutos de los denominadores: |2|=2 , |-1|=1 y |-8|=8
$\frac{|1-x|}{2*1} - \frac{|2-2x|}{8} =1$

Multiplicamos por 8 a ambos miembros para liberarnos de los denominadores:
$(\frac{|1-x|}{2} - \frac{|2-2x|}{8})*8 =1*8$
$4*|1-x| - |2-2x| =8$

Factorizamos en el segundo valor absoluto:
$4*|1-x| - |2(1-x)| =8$

Por la propiedad p2:
4*|1-x| - |2|*|1-x|=8
4*|1-x|-2*|1-x|=8

Factorizamos |1-x| :
|1-x| *(4-2)=8
|1-x|*2=8
|1-x|=4

Elevamos ambos miembros al cuadrado:
|1-x|²=4²
Aplicamos la propiedad p3:
(1-x)²=16
1²-2*1*x+x²=16
x²-2x+1-16=0
x²-2x+15=0

Aplicamos aspa simple o también la fórmula general $\frac{-b +- \sqrt{ b^{2}-4ac } }{2a}$

Aspa simple:
x²-2x+15=0
x      +3
x      -5

(x+3)(x-5)=0

x+3=0 ó x-5=0
x=-3 ó x=5

Answer 2

Para sacar las dos soluciones, las obtienes por que al momento de desarrollar un valor absoluto tienes dos opciones:
*  |a - b| = c
1) a - b = c
2) a - b = -c

Entonces:

$\frac{|1-x|}{|2|.|-1|}- \frac{|2-2x|}{|-8|}=1$

PRIMERA OPCIÓN:

$\frac{1-x}{2}- \frac{2-2x}{8}=1 \\ \\ \frac{4-4x-2+2x}{8}=1 \\ \\ \frac{2-2x}{8}=1 \\ \\ 2-2x=8 \\ \\ 2-8=2x \\ \\ -6=2x \\ \\ x= -\frac{6}{2} \\ \\ x=-3$


SEGUNDA OPCIÓN:

$\frac{1-x}{2}- \frac{2-2x}{8}=-1 \\ \\ \frac{4-4x-2+2x}{8}=-1 \\ \\ \frac{2-2x}{8}=-1 \\ \\ 2-2x=-8 \\ \\ 2+8=2x \\ \\ 10=2x \\ \\ x= \frac{10}{2} \\ \\ x=5$

C.S. (-3 ; 5)