Question

El Reto de Hoy:

Se tiene la medida de un lado y un ángulo agudo en un triángulo rectángulo. Con esta información se pueden obtener las medidas de los otros lados.

Se quiere calcular la altura del árbol. ¿Qué razón trigonométrica utilizarías: seno, coseno o tangente para saber la altura del árbol?

Una vez seleccionada la razón trigonométrica, ¿qué operaciones se realizan?

Answer 1

Se debe emplear la función tangente

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Solución

Para esta clase de problemas tenemos que leer e interpretar correctamente el enunciado para determinar

a) Cuáles son los datos que tenemos

b) Que se nos pide hallar

c) Cómo lo resolvemos

Sobre los datos que tenemos:

Sabemos que se tiene la medida de un lado y éste resulta ser la medida desde determinado punto hasta la base del árbol observando que desde ese punto se forma con el piso un ángulo de 45°

Sobre lo que se nos pide hallar

Se quiere encontrar la altura del árbol

Como lo resolvemos

Luego la altura del árbol a determinar resulta ser el cateto opuesto al ángulo de 45° dado por enunciado.

Y el lado del cual conoces su medida resulta ser el cateto adyacente al ángulo de 45°

Luego allí estamos en condiciones de determinar cual es la función o razón trigonométrica que se debe emplear

Entonces ves que conoces un ángulo α, el valor del cateto adyacente --que es la distancia hasta la base del árbol- y te piden hallar la altura del árbol - la cual resulta ser el cateto opuesto al ángulo dado-

Luego estás estudiando las razones trigonométricas

¿Cuál de ellas relaciona un ángulo dado con el cateto opuesto y el cateto adyacente?

La función tangente

La tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente al ángulo

Concluyendo que para resolver el ejercicio propuesto se debe utilizar la función tangente del ángulo α

Resolvemos el problema

$\boxed { \bold { tan(45)^o = \frac{ cateto\ opuesto}{ cateto\ adyacente } }}$

$\boxed { \bold { tan(45)^o = \frac{ altura \ del \ arbol }{ distancia\ a \ base \ arbol }}}$

$\boxed { \bold { altura\ del \ arbol= distancia \ a \ base \ arbol \ . \ tan(45)^o }}$

El valor de la tangente de 45° = 1

$\boxed { \bold { altura\ del \ arbol= 3.5\ metros \ . \ 1 }}$

$\large\boxed { \bold { altura\ del \ arbol = 3.5 \ metros }}$

La altura del árbol es de 3,5 metros

Nota:

Es muy aconsejable hacer un esquema o gráfico del problema dado, es de gran ayuda para ver la relaciones entre los lados y el o los ángulos.

Observación:  

En este triángulo ambos ángulos miden 45°, por lo que los dos catetos medirán igual