Question

por rotación de los ejes coordenados, transformar la ecuación 2x-y-2=0 en otra que carezca del término en x'

Answer 1

Sea el ángulo de rotación $\theta$ entonces tenemos 
 
                               $x'=x\cos \theta-y\sin \theta\\ y'=x\sin \theta + y\cos\theta$

Y como queremos ver la ecuación de la recta en las coordenadas x'y' entonces haremos

$x=x'\cos\theta + y'\sin\theta\\ y=-x'\sin \theta+y'\cos\theta\\ \\ \\ \text{Por ello}\\ \\ 2x-y-2=0\longrightarrow 2(x'\cos\theta + y'\sin\theta)-(-x'\sin \theta+y'\cos\theta)-2=0\\ \\ (2\cos\theta+\sin\theta)x'+(2\sin\theta-\cos\theta)y'-2=0\\ \\ \text{Para que carezca del t\'ermino }x'\text{ debemos hacer:}\\ \\ 2\cos\theta+\sin\theta=0\\ \\ 2\cos\theta=-\sin\theta\\ \\ \tan \theta =-2\\ \\ \theta=\arctan(-2)\;\;\cdots\cdots (\theta\in \{IIC\,,\, IVC\})$

Con $\theta \in IIC$

$(2\sin\theta-\cos\theta)y'-2=0\\ \\ \left(\dfrac{4}{\sqrt{5}}+\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)y'=2\\ \\ \\ y'=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$

Con $\theta \in IV$

$(2\sin\theta-\cos\theta)y'-2=0\\ \\ \left(-\dfrac{4}{\sqrt{5}}-\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)y'=2\\ \\ \\ y'=-\dfrac{2}{\sqrt{5}}$