Question

la suma de 25 numeros consecutivos positivos es 900
hallar la suma de todos los numeros anteriores a dichos 25 numeros

Answer 1

Llamamos x al primer número consecutivo, entonces el último será x+25.
La fórmula de Gauss es:
n(n+1)/2=S
Entonces, la suma desde el 1 hasta x+25 menos la suma de 1 hasta x debe dar 900. Lo planteamos:
[x+25][(x+25)+1]/2-[x][x+1]/2=900
(x+25)(x+26)-x(x+1)=1800
x^2+51x+650-x^2-x=1800
50x+650=1800
x=(1800-650)/50
x=1150/50
x=23

La cuenta empezó del 24. Determinamos la suma del 1 al 23:
S=(23)(24)/2
S=276

Answer 2

Progresión aritmética (PA) donde conocemos:

Número de términos, n = 25
Diferencia entre términos, d = 1  (ya que son consecutivos)

Con esos dos datos y apoyándonos en las fórmulas de estas progresiones se forma un sistema de dos ecuaciones donde las incógnitas serán el primero y el último término: $a_1$ y $a_n$

Fórmula del término general de una PA.
$a_n = a_1 + (n-1) * d$

Sustituyendo valores...
$a_2_5 = a_1 + (25-1) * 1$
$a_2_5 = a_1 + 24$

a₁ = a₂₅ - 24 ... y la reservo en esta forma.


La otra fórmula es la de suma de "n" términos (Sn) de una PA.

$S_n = \frac{(a_1+a_n)*n}{2}$ 

Sustituyendo lo que conocemos...

$900 = \frac{(a_1+a_2_5)*25}{2}$

$\frac{900*2}{25} = a_1 + a_2_5$

a₁ = 72 - a₂₅  <------- y queda así.

Se resuelve por igualación:
a₂₅ - 24 = 72 - a₂₅ ----------> 2a₂₅ = 96 ------> a₂₅ = 48

Sabiendo a₂₅, se sustituye el valor en cualquiera de las ecuaciones y calculo....... 
a₁ = 72 - 48 = 24

La segunda parte del ejercicio es,  una vez sabidos el primer y último término de esta progresión hay que retroceder a los 25 anteriores y sumarlos.

Obviamente ahora es sencillo saber cuáles son el primer y último término de la sucesión anterior:

$a_n = 48-25 = 23$
$a_1 = 24 - 25 = -1$

Y te recuerdo que el número de términos "n" sigue siendo de 25.

Con esos datos puedes recurrir de nuevo a la fórmula de suma de términos sustituyendo todo lo que conoces y llegarás a la respuesta.

Saludos.