Question

Se tiene un tronco de cono de revolución y un cilindro que tiene la misma base mayor del
tronco y la misma altura. El volumen del tronco de cono es 3/4 del volumen del cilindro. Hallar
la razón de los radios de las bases del tronco de cono (radio mayor/radio menor).​

Answer 1

La razón de los radios de las bases del tronco de cono (radio mayor/radio menor) es  2/1; es decir, el radio de la base mayor del cono truncado es el doble del radio de la base menor del mismo.

Explicación paso a paso:

Con la información proporcionada se construye una ecuación que iguale los volúmenes dados y de allí se despeja la razón solicitada.

Llamemos:

R  =  Radio de la base mayor del cono truncado y de la base del cilindro

r  =  Radio de la base menor del cono truncado

h  =  altura del cono truncado y del cilindro

Fórmulas de cálculo del volumen del cilindro (Vc) y del cono truncado (Vt):

Vc  =  πR²h                ∧                Vt  =  (1/3)πh(R²  +  Rr  +  r²)

Se sabe que el volumen del cono truncado es 3/4 del volumen del cilindro:

Vt  =  3/4Vc        ⇒

$(\frac{1}{3})\pi h(R^2~+~Rr~+~r^2)~=~(\frac{3}{4})(\pi R^2h)\qquad\Rightarrow\qquad\dfrac{(R^2~+~Rr~+~r^2)}{R^2}~=~\dfrac{(\frac{3}{4})(\pi h)}{(\frac{1}{3})\pi h}\qquad\Rightarrow$

$\dfrac{(R^2~+~Rr~+~r^2)}{R^2}~=~\dfrac{9}{4}\qquad\Rightarrow\qquad1~+~\dfrac{r}{R}~+~\dfrac{r^2}{R^2}~=~\dfrac{9}{4}\qquad\Rightarrow$

$(\dfrac{r}{R}~+~\dfrac{1}{2})^2~-~\dfrac{1}{4}~+~1~=~\dfrac{9}{4}\qquad\Rightarrow\qquad(\dfrac{r}{R}~+~\dfrac{1}{2})^2~=~1\qquad\Rightarrow$

$\dfrac{r}{R}~+~\dfrac{1}{2}~=~1\qquad\Rightarrow\qquad\dfrac{r}{R}~=~\dfrac{1}{2}\qquad\Rightarrow\qquad \bold{\dfrac{R}{r}~=~\dfrac{2}{1}}$

La razón de los radios de las bases del tronco de cono (radio mayor/radio menor) es  2/1; es decir, el radio de la base mayor del cono truncado es el doble del radio de la base menor del mismo.