Question

En la figura, las diagonales AC y BD del cuadrilátero ABCD se interceptan
perpendicularmente en el punto P. Si el área de ABC es 7. el
área de BCD es 12 y el área de BPC es 5. ¿Cuál es el área del cuadrilátero ABCD?​

Answer 1

El área del cuadrilátero es 16,8.

Explicación paso a paso:

Y también el área de DPC teniendo el área de BCD y de BPC:

$A_{DPC}=A_{BCD}-A_{BPC}=12-5=7$

Los triángulos BPC y DPC comparten el segmento PC que es la base de los dos, por lo tanto la proporción entre las alturas de ellos (los segmentos PD y BP) es:

$\frac{A_{BPC}}{A_{PCD}}=\frac{\frac{PC.BP}{2}}{\frac{PC.PD}{2}}\\\\\frac{A_{BPC}}{A_{PCD}}=\frac{BP}{PD}$

Y a su vez los triángulos APD y APB comparten el segmento AP, por lo tanto la relación entre las áreas de ellos es igual a la relación entre sus alturas:

$\frac{A_{APB}}{A_{APD}}=\frac{PB}{PD}\\\\\frac{A_{APB}}{A_{APD}}=\frac{A_{BPC}}{A_{PCD}}$

Si tenemos el área de ABC y de BPC se puede hallar el área de APB:

$A_{APB}=A_{ABC}-A_{BPC}=7-5=2$

Y solo queda hallar el área de APD:

$\frac{2}{A_{PCD}}=\frac{5}{7}\\\\A_{PCD}=\frac{7.2}{5}=2,8$

Entonces el área del cuadrilátero es:

$A_{ABCD}=A_{APD}+A_{APB}+A_{PCD}+A_{BPC}=2,8+2+5+7=16,8$