Question

Los volúmenes de dos conos de revolución semejantes están en relación de 9 a 15 respectivamente. ¿Cuál es la relación de sus áreas laterales?

Answer 1

La relación de las áreas laterales de los conos es, aproximadamente, de 10 a 14.

Explicación paso a paso:

Vamos a usar las fórmulas de cálculo de área lateral y volumen de un cono circular recto:

Llamemos

r  =  radio de la base circular del cono

h  =  altura vertical del cono

g  =  altura inclinada  o longitud desde la circunferencia base hasta la cúspide, medida sobre la pared lateral

Área Lateral  =  A  =  π r g

Volumen  V  =  (1/3) π r² h

Ahora bien, los conos son semejantes, eso significa que hay proporciones en sus dimensiones.

Digamos que el cono más grande lo denominamos por la G mayúscula y el cono más pequeño lo denominamos por la p minúscula; entonces se cumple que:

$\bold{\dfrac{Ap}{AG}~=~\dfrac{(hp)^2}{(hG)^2}~=~\dfrac{(rp)^2}{(rG)^2}~=~\dfrac{(gp)^2}{(gG)^2}}$

$\bold{\dfrac{Vp}{VG}~=~\dfrac{(hp)^3}{(hG)^3}~=~\dfrac{(rp)^3}{(rG)^3}~=~\dfrac{(gp)^3}{(gG)^3}}$

A partir de estas relaciones y de la relación 9 a 15 conocida, vamos a calcular cualquiera de los ratios de longitudes y estimamos el de las áreas:

9 a 15 significa que 9 veces el volumen del cono grande es 15 veces el volumen del cono pequeño.  Vamos a sustituir esos valores y a trabajar con cualquiera de las longitudes, por ejemplo con el radio r:

$\dfrac{Vp}{VG}~=~\dfrac{(rp)^3}{(rG)^3}\quad\Rightarrow\quad\dfrac{15}{9}~=~\dfrac{(gp)^3}{(gG)^3}\quad\Rightarrow\quad\bold{\sqrt[3]{\dfrac{15}{9}}~=~\dfrac{(rp)}{(rG)}}$

Esta relación de radios la sustituimos en la relación correspondiente a las áreas laterales. Se simplifica cuanto se puede y se divide entre la menor de las cantidades para buscar una relación a la unidad. Por último se multiplica po la unidad seguida de ceros para tratar de hallar una relación de enteros manejable:

$\dfrac{Ap}{AG}~=~\dfrac{(rp)^2}{(rG)^2}\quad\Rightarrow\quad\dfrac{Ap}{AG}~=~(\sqrt[3]{\dfrac{15}{9}})^2\quad\Rightarrow\quad\bold{\dfrac{Ap}{AG}~=~\dfrac{\sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{9}}~\approx~\dfrac{14}{10}}$

La relación de las áreas laterales de los conos es, aproximadamente, de 10 a 14.