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Respuesta:
Un número decimal periódico es un número racional caracterizado por tener un período (cifras que se repiten indefinidamente) en su expansión decimal. Este período puede constar de una o varias cifras, como:
\cfrac{1}{3} = 0,\boldsymbol{3}\,333\dots \; ; \quad \cfrac{1}{7} = 0,\boldsymbol{142857}\,142857\dots
El período se puede expresar escribiendo un arco encima de las cifras repetidas, por ejemplo:
\cfrac{2}{3} = 0, \overset{\frown}{6} \; ; \quad \cfrac{12}{11} = 1, \overset{\frown}{09}
Tipos de números periódicos
Número periódico puro: Cuando inmediatamente después de la coma hay una o más cifras que se repiten.
Ejemplo: 0,999\dots = 0,\bar{9}
Número periódico mixto (también llamado semiperiódico): Cuando después de la coma hay una o más cifras que no se repiten, seguidas por una o más cifras que sí se repiten.
Ejemplo: 1.91222\dots = 1.91 \bar{2}, en donde 91 es el anteperíodo.
Fracción correspondiente a un número periódico
Una fracción puede dar un número decimal periódico:
\begin{array}{l} \cfrac{1}{9} = 0,111111111111...\\ \cfrac{1}{7} = 0,142857142857...\\ \cfrac{1}{3} = 0,333333333333...\\ \cfrac{2}{27} = 0,074074074074...\\ \cfrac{7}{12} = 0,58333333333... \end{array}
Dado un número periódico en su representación decimal, es posible encontrar la fracción que lo produce (fracción generatriz). Ejemplo:
\begin{array}{rcll} x & = & 0,333333\ldots\\ 10x & = & 3,333333\ldots & \text{(multiplicando por 10 ambos miembros)} \\ 9x & = & 3 & \text{(restando segunda fila menos primera fila)} \\ \\ x & = & \cfrac{3}{9} = \cfrac{1}{3} & \text{(simplificando)} \end{array}
Otro ejemplo:
\begin{array}{rcl} x & = & \;\;\; 2,85636363\ldots \\ 100x & = & 285,63636363\ldots \\ 99x & = & 282,78 \end{array}
x = \frac{282,78}{99} = \frac{28278}{9900} = \frac{1571}{550}
El procedimiento anterior es general y permite enunciar las siguientes reglas:
Número periódico puro: La fracción de un número decimal periódico puro tiene:
numerador: la diferencia entre la parte anterior al período seguida del período (todo escrito sin la coma, de corrido, como un único número entero) menos la parte anterior al período.
denominador: tantos 9 como cifras tiene el período
Ejemplo:
5,34\ 34\dots = \frac{534-5}{99} = \frac{529}{99}
Número periódico mixto: La fracción de un número decimal periódico mixto tiene:
numerador: la diferencia entre la parte anterior al período seguida del período (todo escrito sin la coma, de corrido, como un único número entero) menos la parte anterior al período.
denominador: tantos 9 como cifras tiene el período, seguidos de tantos 0 como cifras tiene la parte no periódica.
Ejemplo:
12,345\ 67\ 67\ 67\dots = \frac{1234567-12345}{99000} = \frac{1222222}{99000} = \frac{611111}{49500}
Tipo de número periódico resultante
Dada una fracción irreducible (es decir, en la que numerador y denominador son primos entre sí, y por tanto no se puede simplificar más) es sencillo saber si corresponde a un número periódico puro, mixto, o es un decimal exacto, sin necesidad de hacer la división:
Si al descomponer el denominador en factores primos, éstos son sólo el 2 y/o el 5, será exacta.
Por ejemplo:
\cfrac{7}{20}
como:
20 = 2 \cdot 2 \cdot 5
será exacta; en efecto
Explicación paso a paso: