Respuestas
Explicación paso a paso:
1. 2 Diversos conjuntos numéricos.
En Matemáticas empleamos diversos conjuntos de números, los más elementales son:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } . El conjunto de los números naturales, o números que sirven para contar.
Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } . El conjunto de los números enteros, o números que sirven para designar cantidades enteras (positivas o negativas).
Q = {...., -7/2,..., -7/3, ..., -5/4,... -5/1, ...0, ..., 2/133, ... 4/7 ... } . El conjunto de los números racionales, o números que pueden ser expresados como un cociente (quotient) entre dos enteros, fracción, p/q. Observen que algunos números con infinitos decimales tal como el 2,33333... pertenece a este conjunto, puesto que: 2,33333... = 7/3.
No obstante, en Q no se hallan algunos números como 1,4142136... (raíz cuadrada de 2) , o el 3,141592... (el número p ) que poseen infinitos decimales pero no pueden expresarse en la forma p/q. A estos números se les llama "números irracionales".
R = Q U {"números irracionales"} . El conjunto de los números reales, formado por la unión de Q y de todos los números irracionales. Este conjunto suele denominarse recta real , pues los puntos de una recta pueden ponerse en correspondencia con los infinitos números de R.
Segmento de una recta, [a, b], son todos los números reales comprendidos entre a y b, es decir, los números x tales que son mayores (o iguales) a "a" y menores (o iguales) a "b".
Puede ver algo más sobre conjuntos de números en la página Matemáticas de Descartes .
Para un número real, x, llamamos valor absoluto de este número, expresado |x|, al número real que queda cuando se le considera positivo . Por ejemplo
|-7| = 7,
|+5,31| = 5, 31
(para los números positivos se les deja como están, para los negativos se les cambia de signo).
Las propiedades del valor absoluto son:
Para un número real, sea x, llamamos parte entera de este número, expresado [x], al número entero que queda cuando se le suprimen todos sus decimales. Por ejemplo:
[3,1416] = 3,
[-2,189] = -2
1. 3 Subconjuntos de un conjunto.
Dado un conjunto C y una propiedad P de un elemento genérico de C, los elementos de C que poseen esa propiedad forman un nuevo conjunto S llamado subconjunto de C, y se expresa:
Por ejemplo, para el conjunto de los números reales, R, podemos fijarnos en la propiedad siguiente:
x = [x]
La propiedad de que un número coincida con su parte entera, dicha propiedad sólo la cumplen los números enteros, por eso podemos expresar:
Todo conjunto C es subconjunto de sí mismo, por otra parte el conjunto vacío (el que no posee ningún elemento), expresado por F, es subconjunto de cualquier otro conjunto. Así podemos expresar:
A un subconjunto de C también se le llama parte de C.
1. 4 Notaciones con conjuntos.
En teoría de conjuntos, y más generalmente en el ámbito de las matemáticas, se utilizan unas determinadas notaciones que conviene indicar desde el principio.
Sea un conjunto con unos ciertos elementos, consideremos el conjunto N de los números naturales N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } . Para expresar que un determinado elemento pertenece a N se utiliza el símbolo "" (igual que el símbolo del euro pero con una sola raya central ). Este mismo símbolo pero tachado se interpreta como que "el elemento no pertenece al conjunto". Por ejemplo podemos expresar:
* Los cuantificadores :
Estos dos símbolos sirven para aludir a la cantidad de los elementos del conjunto, el primero hace referencia a "al menos uno", el segundo se refiere a "todos sin excepción". Por ejemplo:
Se lee: " existe al menos un elemento n perteneciente al conjunto N tal que (la coma se lee aquí "tal que") n es mayor que 1000". En realidad, hay muchos elementos en N mayores que 1000, pero con este símbolo nos referimos a que hay por lo menos uno, es decir, negamos que no haya ninguno con la propiedad que viene a continuación..
Se lee: " cualquiera que sea el elemento n del conjunto N se tiene que (aquí la coma se lee "se tiene que") n es mayor o igual a 0". [NOTA: las comas son separadores entre símbolos en una definición, y se leen como a uno le dé la gana siempre que completen el significado a la frase).