Question

Dos personas de frente y a 2500 metros una de otra en el mismo nivel horizontal, observan un avión con ángulos de elevación de 50° y 65°. Halla la altura del avión.

Answer 1

Traza un triángulo con base horizontal, considera como A el punto a la izquierda, el ángulo interior es a=50º 10', en el otro extremo el punto es B y el ángulo interior es b=65º 40', en el vértice superior C está el avión y el ángulo interior mide c=64º 10' (recuerda que la suma de ángulos interiores es de 180º). 
Traza ahora la altura por C y llama P al punto sobre el lado AB.Ya que la base mide 2500m, podemos considerar que el segmento AP mide x unidades y el segmento PB mide 2500-x unidades. Llama h a la medida de la altura, segmento PC. 
Ahora los cálculos: 
tan a = h/x 
tan b = h/(2500 -x) 

despejando 
h = x tan a = (2500 - x) tan b 
despejas x de las dos últimas 
x tan a + x tan b = 2500 tan b 

factorizas y divides 
x = 2500 tan b / (tan a + tan b) 

en el renglón con la igualdad doble substituyes 
h = 2500 tan a tan b / (tan a + tan b) 

Substituyendo los valores aproximados (tomados de tablas) obtenemos 

h = (2500) (1.199) (2.211) / (1.199 + 2.211) 
h = 6 627.4725 / 3.41 
h = 1 943.54 m 

Otra forma de resolverlo es con la ley de los senos 
BC/ sen a = AC/ sen c 
BC = 2500 sen a / sen c 

por otra parte 
sen b = h/ BC de manera que 
h = BC sen b 
h = 2500 sen a sen b / sen c 

aproximadamente 
h = (2500) (.7679) (.9112) / (.9001) 
h =1749.2762 / .9001 
h = 1 943. 4242 m 

Hay discrepancia en la parte decimal debido a que los valores de las funciones trigonométricas son aproximados, con la parte entera no hay problema, la altura es de 1 943 m en ambos casos.